Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho ${{z}_{1}}$ và $i{{z}_{2}}$. Biết $\widehat{MON}={{30}^{0}}$. Tính $S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|$
A. $5\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $4\sqrt{7}$
D. $\sqrt{5}$
Ta có $S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 2i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|$
Gọi P là điểm biểu diễn của số phức $2i{{z}_{2}}$.
Khi đó ta có $\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP} \right|$
$\left| \overrightarrow{PM} \right|.\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2PM.OI$
Do $\widehat{MON}=30{}^\circ $ nên áp dụng định lí cosin ta tính ra được MN = 1. Khi đó $\Delta OMP$ có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra $\Delta OMP$ cân tại $M\Rightarrow PM=OM=2$
Áp dụng định lí đường trung tuyến cho $\Delta OMP$ ta có
$O{{I}^{2}}=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{P}^{2}}}{4}=7$
Vậy $S=2PM.OI=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$
A. $5\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $4\sqrt{7}$
D. $\sqrt{5}$
Ta có $S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 2i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|$
Gọi P là điểm biểu diễn của số phức $2i{{z}_{2}}$.
Khi đó ta có $\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP} \right|$
$\left| \overrightarrow{PM} \right|.\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2PM.OI$
Do $\widehat{MON}=30{}^\circ $ nên áp dụng định lí cosin ta tính ra được MN = 1. Khi đó $\Delta OMP$ có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra $\Delta OMP$ cân tại $M\Rightarrow PM=OM=2$
Áp dụng định lí đường trung tuyến cho $\Delta OMP$ ta có
$O{{I}^{2}}=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{P}^{2}}}{4}=7$
Vậy $S=2PM.OI=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$
Đáp án C.