Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}...

Ta có: $T=\left| z_{1}^{2}+9z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 3i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right)\left( {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right) \right|=\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|.$
Gọi N' là điểm biểu diễn số phức $3i{{z}_{2}}$. Ta có $\widehat{MON'}=\widehat{MON}=60{}^\circ .$
Lại có $ON'=\left| 3i{{z}_{2}} \right|=3\left| i \right|\left| {{z}_{2}} \right|=3.1.2=6.$
Mặt khác $OM=\left| {{z}_{1}} \right|=6.$
Vậy $OM=ON'=6$ và $\widehat{MON'}=60{}^\circ $. Do đó tam giác MON' là tam giác đều cạnh bằng 6. Suy ra $MN'=6.$
Mặt khác gọi H là trung điểm của MN' thì $OH=\dfrac{OM\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$
Từ đó ta có $\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|=MN'=6;\ \left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON'} \right|=2\left| \overrightarrow{OH} \right|=2OH=2.3\sqrt{3}=6\sqrt{3}.$
Vậy $T=6.6\sqrt{3}=36\sqrt{3}.$