Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=2, \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$. Gọi M, N là cách điểm biểu diễn cho ${{z}_{1}}$ và $i{{z}_{2}}$. Biết góc $MON=30{}^\circ $. Tính $S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|$
A. $5\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $4\sqrt{7}$
D. $\sqrt{5}$
A. $5\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $4\sqrt{7}$
D. $\sqrt{5}$
Ta có
$S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 2i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right)\left( {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right) \right|=\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|$
Gọi N' là điểm biểu diễn số phức $2i{{z}_{2}}$. Ta có $\widehat{MO{N}'}=\widehat{MON}=30{}^\circ $.
Lại có $O{N}'=\left| 2i{{z}_{2}} \right|=2\left| i \right|\left| {{z}_{2}} \right|=2.1.\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ và $OM=\left| {{z}_{1}} \right|=2$.
Áp dụng định lí hàm số cos trong tam giác OMN' ta có:
$M{N}'=\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{{{N}'}}^{2}}-2OM.O{N}'.\cos MO{N}'}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}-2.2.2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2$
Mặt khác gọi I là trung điểm của MN' thì áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:
Vậy $S=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$
$S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 2i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| \left( {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right)\left( {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right) \right|=\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|$
Gọi N' là điểm biểu diễn số phức $2i{{z}_{2}}$. Ta có $\widehat{MO{N}'}=\widehat{MON}=30{}^\circ $.
Lại có $O{N}'=\left| 2i{{z}_{2}} \right|=2\left| i \right|\left| {{z}_{2}} \right|=2.1.\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ và $OM=\left| {{z}_{1}} \right|=2$.
Áp dụng định lí hàm số cos trong tam giác OMN' ta có:
$M{N}'=\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{{{N}'}}^{2}}-2OM.O{N}'.\cos MO{N}'}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}-2.2.2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2$
Mặt khác gọi I là trung điểm của MN' thì áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:
$O{{I}^{2}}=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{{{N}'}}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{{{N}'}}^{2}}}{4}=\dfrac{{{2}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{2}-\dfrac{{{2}^{2}}}{4}=7\Rightarrow OI=\sqrt{7}$
Từ đó ta có: $\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|=M{N}'=2; \left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{O{N}'} \right|=2\left| \overrightarrow{OI} \right|=2OI=2\sqrt{7}$ Vậy $S=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$
Đáp án C.