Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| {{z}_{2}} \right|=1$ và $\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}}...

Phương pháp:
- Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}.$ Tìm $OM,ON.$
- Gọi $M',N'$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{1}},3{{z}_{2}}.$ Tính $M'N'.$
- Gọi $N''$ là điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{2}},$ khi đó ta có $P=\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON''} \right|=OP,$ với $OMPN''$ là hình bình hành.
- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác $OM'N'$ tính $\cos \angle M'ON'.$
- Tính $O{{P}^{2}}=O{{M}^{2}}+ON{{''}^{2}}+2OM.ON''.\cos \angle M'ON'.$
Cách giải:

Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}:$
Theo bài ra ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| {{z}_{2}} \right|=1\Rightarrow {{z}_{1}}\in \left( 0;2 \right),{{z}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow OM=2,ON=1.$
Gọi $M',N'$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{1}},3{{z}_{2}}.$ Vì $\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|=4\Rightarrow M'N'=4.$
Gọi $N''$ là điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{2}},$ khi đó ta có $P=\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON''} \right|=OP,$ với $OMPN''$ là hình bình hành.
Xét tam giác $OM'N'$ có $\cos \angle M'ON'=\dfrac{OM{{'}^{2}}+ON{{'}^{2}}-M'N{{'}^{2}}}{2.OM'.ON'}=\dfrac{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-{{4}^{2}}}{2.4.3}=\dfrac{3}{8}.$
$\Rightarrow O{{P}^{2}}=O{{M}^{2}}+ON{{''}^{2}}+2OM.ON''.\cos \angle M'ON'=11\Rightarrow OP=\sqrt{11}.$
Vậy $P=\sqrt{11}.$