Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5,\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|.$ Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là
A. $\dfrac{5}{2}$
B. $\dfrac{7}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{3}{2}$
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right);{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5\Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{1}}+5 \right)+{{y}_{2}}i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+5 \right)}^{2}}+y_{2}^{2}=25.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25.$
Ta có $\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{2}}+1 \right)+\left( {{y}_{2}}-3 \right)i \right|=\left| \left( {{x}_{2}}-3 \right)+\left( {{y}_{2}}-6 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8{{x}_{2}}+6{{y}_{2}}=35.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $\Delta :8x+6y=35.$
$\left( C \right)$ có tâm $I\left( -5;0 \right)$, bán kính $R=5.$
Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $ là $d\left( I,\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| 8.\left( -5 \right)+6.0-35 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\dfrac{75}{10}=\dfrac{15}{2}>R.$
Suy ra $\Delta $ không cắt $\left( C \right)$. Do đó, nếu gọi $d$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\Delta ,d$ cắt $\left( C \right)$ và $\Delta $ lần lượt tại $M,N$ và $H$ thì một trong hai đoạn thẳng $HM,HN$ là khoảng cách ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ thuộc $\left( C \right)$ và $\Delta .$
Suy ra giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là
${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=HM=d\left( I,\Delta \right)-R=\dfrac{15}{2}-5=\dfrac{5}{2}.$
A. $\dfrac{5}{2}$
B. $\dfrac{7}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{3}{2}$
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right);{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5\Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{1}}+5 \right)+{{y}_{2}}i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+5 \right)}^{2}}+y_{2}^{2}=25.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25.$
Ta có $\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{2}}+1 \right)+\left( {{y}_{2}}-3 \right)i \right|=\left| \left( {{x}_{2}}-3 \right)+\left( {{y}_{2}}-6 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8{{x}_{2}}+6{{y}_{2}}=35.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $\Delta :8x+6y=35.$
$\left( C \right)$ có tâm $I\left( -5;0 \right)$, bán kính $R=5.$
Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $ là $d\left( I,\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| 8.\left( -5 \right)+6.0-35 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\dfrac{75}{10}=\dfrac{15}{2}>R.$
Suy ra $\Delta $ không cắt $\left( C \right)$. Do đó, nếu gọi $d$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\Delta ,d$ cắt $\left( C \right)$ và $\Delta $ lần lượt tại $M,N$ và $H$ thì một trong hai đoạn thẳng $HM,HN$ là khoảng cách ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ thuộc $\left( C \right)$ và $\Delta .$
Suy ra giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là
${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=HM=d\left( I,\Delta \right)-R=\dfrac{15}{2}-5=\dfrac{5}{2}.$
Đáp án A.