Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3-4i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}-3-4i \right|=\dfrac{1}{2}.$ Gọi số phức $z=a+bi$ thỏa mãn $3a-2b=12.$ Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2$ bằng
A. ${{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3}.$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}.$
C. ${{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5}.$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{11}.$
A. ${{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3}.$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}.$
C. ${{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5}.$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{11}.$
Có $\left| {{z}_{2}}-3-4i \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{2}}-6-8i \right|=1.$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right),M\left( a;b \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn ${{z}_{1}},2{{z}_{2}},z.$
Ta có: $A\left( I;1 \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1,$ với $I\left( 3;4 \right).$
$C\left( J;1 \right):{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=1,J\left( 6;8 \right)$
$M\in \Delta :3x-2y=12$
Khi đó: $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2=MA+MC+2.$
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+MC+2$ khi $A,C$ chạy trên 2 đường tròn cố định $\left( I;1 \right)$ và $\left( J;1 \right)$ nằm cùng phía với đường thẳng $\Delta :3x-2y=12$ và điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta :3x-2y=12.$
Gọi đường tròn đối xứng với $\left( I;1 \right)$ qua đường thẳng $\Delta :3x-2y=12$ là $\left( I';1 \right).$ Suy ra $I'\left( \dfrac{105}{13};\dfrac{8}{13} \right).$
Vì $A'$ đối xứng với $A$ qua $\Delta $ nên $MA+MC=MA'+MC\ge {{A}_{1}}'{{C}_{1}}=II'-I'{{A}_{1}}'-I{{C}_{1}}=II'-2$ nên ${{P}_{\min }}=JI'=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}.$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right),M\left( a;b \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn ${{z}_{1}},2{{z}_{2}},z.$
Ta có: $A\left( I;1 \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1,$ với $I\left( 3;4 \right).$
$C\left( J;1 \right):{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=1,J\left( 6;8 \right)$
$M\in \Delta :3x-2y=12$
Khi đó: $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2=MA+MC+2.$
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+MC+2$ khi $A,C$ chạy trên 2 đường tròn cố định $\left( I;1 \right)$ và $\left( J;1 \right)$ nằm cùng phía với đường thẳng $\Delta :3x-2y=12$ và điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta :3x-2y=12.$
Gọi đường tròn đối xứng với $\left( I;1 \right)$ qua đường thẳng $\Delta :3x-2y=12$ là $\left( I';1 \right).$ Suy ra $I'\left( \dfrac{105}{13};\dfrac{8}{13} \right).$
Vì $A'$ đối xứng với $A$ qua $\Delta $ nên $MA+MC=MA'+MC\ge {{A}_{1}}'{{C}_{1}}=II'-I'{{A}_{1}}'-I{{C}_{1}}=II'-2$ nên ${{P}_{\min }}=JI'=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}.$
Đáp án B.