Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}, \left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|$ (trong đó $m$ là tham số thực) và sao cho $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\sqrt{34}$.
B. $2\sqrt{34}$.
C. $10$.
D. $2$.
Đặt $z=x+yi (x, y\in \mathbb{R})$. Khi đó $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=34$ (C) suy ra điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ nằm trên đường tròn (C) tâm $I\left( 1; 0 \right)$ bán kính $R=\sqrt{34}$.
Lại có, $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}={{\left( x+m \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( 2-2m \right)x+\left( 2m-4 \right)y-3=0$ (d) suy ra điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ nằm trên đường thẳng (d). Gọi $A\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó, $ \left( 2-2m \right){{x}_{0}}+\left( 2m-4 \right){{y}_{0}}-3=0, \forall m$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2m({{y}_{0}}-{{x}_{0}})+2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}-3=0, \forall m \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{y}_{0}}-{{x}_{0}}=0 \\
& 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}_{0}}={{y}_{0}}=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow A\left( -\dfrac{3}{2}; -\dfrac{3}{2} \right) \\
\end{aligned}$
Ta có, $IA=\dfrac{\sqrt{34}}{2}<R$ nên điểm $A$ nằm trong đường tròn (C). Do đó đường thẳng (d) luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm $M, N$ và điểm $M, N$ chính là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$.
Theo giả thiết thì $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow \left( d \right)$ $\equiv $ $IA$.
Do đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} \right|=\left| 2.\overrightarrow{OI} \right|=2.OI=2$
A. $\sqrt{34}$.
B. $2\sqrt{34}$.
C. $10$.
D. $2$.
Lại có, $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}={{\left( x+m \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( 2-2m \right)x+\left( 2m-4 \right)y-3=0$ (d) suy ra điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ nằm trên đường thẳng (d). Gọi $A\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó, $ \left( 2-2m \right){{x}_{0}}+\left( 2m-4 \right){{y}_{0}}-3=0, \forall m$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2m({{y}_{0}}-{{x}_{0}})+2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}-3=0, \forall m \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{y}_{0}}-{{x}_{0}}=0 \\
& 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}_{0}}={{y}_{0}}=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow A\left( -\dfrac{3}{2}; -\dfrac{3}{2} \right) \\
\end{aligned}$
Ta có, $IA=\dfrac{\sqrt{34}}{2}<R$ nên điểm $A$ nằm trong đường tròn (C). Do đó đường thẳng (d) luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm $M, N$ và điểm $M, N$ chính là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$.
Theo giả thiết thì $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow \left( d \right)$ $\equiv $ $IA$.
Do đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} \right|=\left| 2.\overrightarrow{OI} \right|=2.OI=2$
Đáp án D.