Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn đồng thời hai điều...

Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_1,z_2$.
Gọi số phức $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$.
Ta có $|z-1|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{34}$.
Mà $|z+1+mi|=|z+m+2i|\iff |(x+1)+(y+m)i|=|(x+m)+(y+2)i|$
$\iff (2-2m)x+(2m-4)y-3=0\Rightarrow M,N$ thuộc đường thẳng $\left(d\right):(2-2m)x+(2m-4)y-3=0$.
Do đó $M,N$ là giao điểm của $d$ và đường tròn $\left(C\right)$.
Ta có $|z_1-z_2|=MN$ nên $|z_1-z_2|$ lớn nhất $\iff MN$ lớn nhất.
$\iff MN$ là đường kính của đường tròn tâm $I$ bán kính 1.
Khi đó $|z_1+z_2|=2\left|\overrightarrow{OI}\right|=2.OI=2$.