Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: $\left| z-1 \right|=\sqrt{34};\ \left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|$ (trong đó $m$ là số thực) và sao cho $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị của $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng:
A. $\sqrt{2}$
B. 10
C. 2
D. $\sqrt{130}$
A. $\sqrt{2}$
B. 10
C. 2
D. $\sqrt{130}$
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Gọi số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{34}$.
Mà $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow \left| \left( x+1 \right)+\left( y+m \right)i \right|=\left| \left( x+m \right)+\left( y+2 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \left( 2-2m \right)x+\left( 2m-4 \right)y-3=0\Rightarrow M,N$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):\left( 2-2m \right)x+\left( 2m-4 \right)y-3=0$.
Do đó $M,N$ là giao điểm của $d$ và đường tròn $\left( C \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ lớn nhất $\Leftrightarrow MN$ lớn nhất.
$\Leftrightarrow MN$ là đường kính của đường tròn tâm $I$ bán kính 1.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\left| \overrightarrow{OI} \right|=2.OI=2$.
Gọi số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{34}$.
Mà $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow \left| \left( x+1 \right)+\left( y+m \right)i \right|=\left| \left( x+m \right)+\left( y+2 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \left( 2-2m \right)x+\left( 2m-4 \right)y-3=0\Rightarrow M,N$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):\left( 2-2m \right)x+\left( 2m-4 \right)y-3=0$.
Do đó $M,N$ là giao điểm của $d$ và đường tròn $\left( C \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ lớn nhất $\Leftrightarrow MN$ lớn nhất.
$\Leftrightarrow MN$ là đường kính của đường tròn tâm $I$ bán kính 1.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\left| \overrightarrow{OI} \right|=2.OI=2$.
Đáp án C.