Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$...

Đặt $z=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
$\left( z+i \right)\left( \overline{z}+3i \right)-21=\left( x+\left( y+1 \right)i \right)\left( x-\left( y-3 \right)i \right)-2021$
$={{x}^{2}}+\left( y+1 \right)\left( y-3 \right)-21-x\left( y-3 \right)i+x\left( y+1 \right)i$
Mà $\left( z+i \right)\left( \overline{z}+3i \right)-21$ là số ảo nên ${{x}^{2}}+\left( y+1 \right)\left( y-3 \right)-21=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=25$.
Vậy tập hợp điểm biểu diển số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=5$ là đường tròn tâm $I\left( 0,1 \right)$ bán kính $R=5$.
Gọi $M\left( {{z}_{1}} \right)$, $N\left( {{z}_{2}} \right)$ làđiểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Ta có: $IM=5,IN=5$, $|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=MN=8$
$\cos \widehat{MIN}=\dfrac{I{{M}^{2}}+I{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2IM.IN}=-\dfrac{7}{25}$
Đặt $w=z-i\Rightarrow {{w}_{1}}={{z}_{1}}-i,{{w}_{2}}={{z}_{2}}-i$. Gọi $P\left( {{w}_{1}} \right),Q\left( {{w}_{2}} \right)$ là điểm biểu diển số phức ${{w}_{1}}$ và ${{w}_{2}}$.
Suy ra $OP=OQ=5$
Khi đó $\cos \left( \widehat{MIN} \right)=\cos \left( \widehat{POQ} \right)=-\dfrac{7}{25}$
Suy ra $P=\left| {{w}_{1}}+3{{w}_{2}}+2026i \right|\le \left| {{w}_{1}}+3{{w}_{2}} \right|+2026=\left| \overrightarrow{OP}+3\overrightarrow{OQ} \right|+2026=\left| \overrightarrow{OE} \right|+2026$
Từ hình vẽ suy ra $\cos (\widehat{OTE})=-\cos (\widehat{POQ})=\dfrac{7}{25}$, $OT=15$.
$OE=\sqrt{O{{T}^{2}}+T{{E}^{2}}-2OT.OE\cos \left( \widehat{OTE} \right)}=4\sqrt{13}$
Vậy ${{P}_{\max }}=2026+4\sqrt{13}$.