Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ khác 0 thỏa mãn...

Ta có: $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$ là số thuần ảo nên ta viết lại $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=ki\Leftrightarrow {{z}_{1}}=ki{{z}_{2}}$.
Khi đó $\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=10\Leftrightarrow \left| ki{{z}_{2}}-{{z}_{2}} \right|=10\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}\left( -1+ki \right) \right|=10\Leftrightarrow \dfrac{10}{\left| -1+ki \right|}=\dfrac{10}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}} \\
& \Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| ki \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| k \right|.\dfrac{10}{{{k}^{2}}+1}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\dfrac{10\left| k \right|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=\dfrac{10\left( \left| k \right|+1 \right)}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}} \\
\end{aligned}$
Xét $\begin{aligned}
& y=f\left( t \right)=\dfrac{10\left( t+1 \right)}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}\Rightarrow 10\left( t+1 \right)=y\sqrt{{{t}^{2}}+1}\Leftrightarrow 100{{\left( t+1 \right)}^{2}}={{y}^{2}}\left( {{t}^{2}}+1 \right) \\
& \Leftrightarrow 100\left( {{t}^{2}}+2t+1 \right)={{y}^{2}}{{t}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \left( {{y}^{2}}-100 \right){{t}^{2}}+{{y}^{2}}-100=0 \\
\end{aligned}$
Phương trình có nghiệm $\Delta '={{100}^{2}}-{{\left( {{y}^{2}}-100 \right)}^{2}}={{y}^{2}}\left( 200-{{y}^{2}} \right)\ge 0\Leftrightarrow -10\sqrt{2}\le y\le 10\sqrt{2}$.
Vậy $\max y=10\sqrt{2}$ khi $t=1$ hay $k=\pm 1$.