. Cho hai số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ thỏa mãn $\left|...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho hai số phức

z_{1}

và

z_{2}

thỏa mãn

| z_{1} | = 3, | z_{2} | = 4; | z_{1} - z_{2} | = \sqrt{41} .

Xét các số phức

z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = a + b i (a, b \in R) .

Khi đó

| b |

bằng
A.

\frac{\sqrt{3}}{8} .

B.

\frac{3 \sqrt{3}}{8} .

C.

\frac{\sqrt{2}}{4} .

D.

\frac{\sqrt{5}}{4} .

+ Biểu diễn lượng giác của số phức
+

\frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}, z_{2} \neq 0

Cách 1: Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức

z_{1}, z_{2}

Theo đề bài, ta có:

O A = 3, O B = 4, A B = \sqrt{41} \Rightarrow \cos \hat{A O B} = \frac{3^{2} + 4^{2} - 41}{2.3 .4} = - \frac{2}{3}

Đặt

z_{1} = 3 (\cos φ + i \sin φ) \Rightarrow z_{2} = 4 (\cos (φ \pm A O B)) = 4 (\cos (φ \pm α) + i \sin (φ \pm α))

(α = A O B)

\Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{3 (\cos φ + i \sin φ)}{4 (\cos (φ \pm α) + i \sin (φ \pm α))} = \frac{3}{4} (\cos φ + i \sin φ) (\cos (φ \pm α) - i \sin (φ \pm α))

= \frac{3}{4} [(\cos φ . \cos (φ \pm α) + \sin φ . \sin (φ \pm α)) + i (\sin φ . \cos (φ \pm α)) - \cos φ . \sin (φ \pm α)]

= \frac{3}{4} [\cos (\pm α) + i \sin (\pm α)] = \frac{3}{4} (\cos α \pm i \sin α)

\Rightarrow b = \pm \frac{3}{4} \sin α \Rightarrow | b | = \frac{3}{4} \sqrt{1 - {(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4}

.
Cách 2: Ta có:

| z_{1} | = 3, | z_{2} | = 4, | z_{1} - z_{2} | = \sqrt{41} \Rightarrow {\begin{aligned} \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} = \frac{3}{4} \\ \frac{| z_{1} - z_{2} |}{| z_{2} |} = \frac{\sqrt{41}}{4} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} = \frac{3}{4} \\ | \frac{z_{1}}{z_{2}} - 1 | = \frac{\sqrt{41}}{4} \end{aligned}

z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = a + b i, (a, b \in R) \Rightarrow {\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = {(\frac{3}{4})}^{2} \\ {(a - 1)}^{2} + b^{2} = {(\frac{\sqrt{41}}{4})}^{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = \frac{9}{16} \\ {(a - 1)}^{2} + b^{2} = \frac{41}{16} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b^{2} = \frac{9}{16} - a^{2} \\ {(a - 1)}^{2} + \frac{9}{16} - a^{2} = \frac{41}{16} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} b^{2} = \frac{5}{16} \\ a = - \frac{1}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} | b | = \frac{\sqrt{5}}{4} \\ a = - \frac{1}{2} \end{aligned}

.
Vậy

| b | = \frac{\sqrt{5}}{4}

.

Đáp án D.

. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn $\left|...