Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{\text{z}}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$ và $z_{1}^{2}-5{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}+4\text{z}_{2}^{2}=0$. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}},\overline{{{z}_{2}}}$ thỏa mãn diện tích tam giác OMN bằng 12. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| 2{{\text{z}}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là
A. $14\sqrt{3}$
B. $21\sqrt{2}$
C. $\dfrac{14\sqrt{6}}{3}$
D. $7\sqrt{6}$
A. $14\sqrt{3}$
B. $21\sqrt{2}$
C. $\dfrac{14\sqrt{6}}{3}$
D. $7\sqrt{6}$
Vì $z_{1}^{2}-5{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}+4\text{z}_{2}^{2}=0\left( {{z}_{1}}\ne {{z}_{2}} \right)$ suy ra ${{z}_{1}}=4{{\text{z}}_{2}}\Rightarrow P=\left| 7{{\text{z}}_{2}} \right|$
Mặt khác ${{S}_{\Delta OMN}}=\dfrac{1}{2}OM.ON.\sin \widehat{MON}\Leftrightarrow 12=\dfrac{1}{2}\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|.\sin \widehat{MON}=6$.
$\Rightarrow P=\left| 7{{\text{z}}_{2}} \right|=7\sqrt{\dfrac{6}{\sin \widehat{MON}}}$. Nên $P=\left| 7{{\text{z}}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi $\sin \widehat{MON}$ lớn nhất
$\Leftrightarrow \sin \widehat{MON}=1$.
Khi đó $P=7\sqrt{6}$.
Mặt khác ${{S}_{\Delta OMN}}=\dfrac{1}{2}OM.ON.\sin \widehat{MON}\Leftrightarrow 12=\dfrac{1}{2}\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|.\sin \widehat{MON}=6$.
$\Rightarrow P=\left| 7{{\text{z}}_{2}} \right|=7\sqrt{\dfrac{6}{\sin \widehat{MON}}}$. Nên $P=\left| 7{{\text{z}}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi $\sin \widehat{MON}$ lớn nhất
$\Leftrightarrow \sin \widehat{MON}=1$.
Khi đó $P=7\sqrt{6}$.
Đáp án D.