Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{\text{z}}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2$ và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{\text{z}}_{2}} \right|$.
A. $\sqrt{313}+16$
B. $\sqrt{313}$
C. $\sqrt{313}+8$
D. $\sqrt{313}+2\sqrt{5}$
A. $\sqrt{313}+16$
B. $\sqrt{313}$
C. $\sqrt{313}+8$
D. $\sqrt{313}+2\sqrt{5}$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|=4.\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4$.
Và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\dfrac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -3{{\text{z}}_{2}}-6-3i \right|=12$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2i{{z}_{1}} \\
& v=-3{{\text{z}}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| u+6+10i \right|=4 \\
& \left| v-6-3i \right|=12 \\
\end{aligned} \right. $ và $ T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{\text{z}}_{2}} \right|=\left| 2i{{z}_{1}}-\left( -3{{\text{z}}_{2}} \right) \right|=\left| u-v \right|$.
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn ${{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16$ tâm ${{I}_{1}}\left( -6;-10 \right),{{\text{R}}_{1}}=4$.
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn ${{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144$ tâm ${{I}_{2}}\left( 6;3 \right),{{\text{R}}_{2}}=12$.
Khi đó $T=M{{N}_{\max }}\Leftrightarrow MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4=12=\sqrt{313}+16$.
Và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\dfrac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -3{{\text{z}}_{2}}-6-3i \right|=12$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2i{{z}_{1}} \\
& v=-3{{\text{z}}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| u+6+10i \right|=4 \\
& \left| v-6-3i \right|=12 \\
\end{aligned} \right. $ và $ T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{\text{z}}_{2}} \right|=\left| 2i{{z}_{1}}-\left( -3{{\text{z}}_{2}} \right) \right|=\left| u-v \right|$.
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn ${{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16$ tâm ${{I}_{1}}\left( -6;-10 \right),{{\text{R}}_{1}}=4$.
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn ${{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144$ tâm ${{I}_{2}}\left( 6;3 \right),{{\text{R}}_{2}}=12$.
Khi đó $T=M{{N}_{\max }}\Leftrightarrow MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4=12=\sqrt{313}+16$.
Đáp án A.