Google
Câu hỏi: Cho hai số phức $u$ và $v$ thoả mãn hệ thức $5-|u+4 i-1|=|u-4|$ và $|(1+i) v+1-i|=\sqrt{2}$. Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=|u-2 i v|$ lần lượt là $a$ và $b$. Giá trị của biểu thức $T=(a+5 b)$ bằng
A. 22 .
B. 12 .
C. 14 .
D. 17 .
A. 22 .
B. 12 .
C. 14 .
D. 17 .
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $u, A(4 ; 0), B(1 ;-4)$
Ta có $5-|u+4 i-1|=|u-4| \Leftrightarrow|u-4|+|u+4 i-1|=5 \Leftrightarrow M A+M B=5 \Leftrightarrow M A+$ $M B=A B$ hay quỹ tích điểm $M$ là đoạn thẳng $A B$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $2 i v, I(-2 ; 0)$
$
|(1+i) v+1-i|=\sqrt{2} \Leftrightarrow|1+i| .\left|v+\dfrac{1-i}{1+i}\right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow|v-i|=1 \Leftrightarrow|2 i v+2|=|2 i| \Leftrightarrow I N=2
$$
hay quỹ tích điểm $N$ là đường tròn tâm $I$ bán kính bằng 2 .
Dễ thấy $P=|u-2 i v|=M N$
Ta có hình vẽ
Dễ thấy
$
\begin{aligned}
& P_{\max }=M N_{\max }=B D=8=a \\
& P_{\min }=M N_{\min }=H K=I H-2=I B \sin \alpha-2=6 \cdot \frac{4}{5}-2=\frac{14}{5}=b
\end{aligned}
$
Do đó $T=a+5 b=22$.
Ta có $5-|u+4 i-1|=|u-4| \Leftrightarrow|u-4|+|u+4 i-1|=5 \Leftrightarrow M A+M B=5 \Leftrightarrow M A+$ $M B=A B$ hay quỹ tích điểm $M$ là đoạn thẳng $A B$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $2 i v, I(-2 ; 0)$
$
|(1+i) v+1-i|=\sqrt{2} \Leftrightarrow|1+i| .\left|v+\dfrac{1-i}{1+i}\right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow|v-i|=1 \Leftrightarrow|2 i v+2|=|2 i| \Leftrightarrow I N=2
$$
hay quỹ tích điểm $N$ là đường tròn tâm $I$ bán kính bằng 2 .
Dễ thấy $P=|u-2 i v|=M N$
Ta có hình vẽ
$
\begin{aligned}
& P_{\max }=M N_{\max }=B D=8=a \\
& P_{\min }=M N_{\min }=H K=I H-2=I B \sin \alpha-2=6 \cdot \frac{4}{5}-2=\frac{14}{5}=b
\end{aligned}
$
Do đó $T=a+5 b=22$.
Đáp án A.