Google
Câu hỏi: Cho hai số phức $u, v$ thỏa mãn $\left| u \right|=2, \left| v \right|=3$ và $\left| u-2v \right|=4.$ Giá trị của biểu thức $P=\left| 3u-v \right|$ tương ứng bằng:
A. 4.
B. 3.
C. $2\sqrt{5}.$
D. $2\sqrt{2}.$
A. 4.
B. 3.
C. $2\sqrt{5}.$
D. $2\sqrt{2}.$
Ta có ${{\left| u+v \right|}^{2}}={{\left| u \right|}^{2}}+{{\left| v \right|}^{2}}+2.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right).$
Trong đó $\left( u,v \right)$ là góc tạo bởi hai vecto biểu diễn hai số phức $u$ và $v.$
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{2}}=16={{\left| u-2v \right|}^{2}}={{\left| u \right|}^{2}}+4{{\left| v \right|}^{2}}-4.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right) \\
& {{P}^{2}}={{\left| 3u-v \right|}^{2}}=9{{\left| u \right|}^{2}}+{{\left| v \right|}^{2}}-6.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right). \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3.16=3{{\left| u-2v \right|}^{2}}=3{{\left| u \right|}^{2}}+12{{\left| v \right|}^{2}}-12.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right) \\
& 2{{P}^{2}}=2{{\left| 3u-v \right|}^{2}}=18{{\left| u \right|}^{2}}+2{{\left| v \right|}^{2}}-12.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right) \\
\end{aligned} \right..$
Lấy hai phương trình trừ đi nhau, ta được: $2{{P}^{2}}-48=15{{\left| u \right|}^{2}}-10{{\left| v \right|}^{2}}={{15.2}^{2}}-{{10.3}^{2}}\Rightarrow P=3.$
Trong đó $\left( u,v \right)$ là góc tạo bởi hai vecto biểu diễn hai số phức $u$ và $v.$
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{2}}=16={{\left| u-2v \right|}^{2}}={{\left| u \right|}^{2}}+4{{\left| v \right|}^{2}}-4.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right) \\
& {{P}^{2}}={{\left| 3u-v \right|}^{2}}=9{{\left| u \right|}^{2}}+{{\left| v \right|}^{2}}-6.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right). \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3.16=3{{\left| u-2v \right|}^{2}}=3{{\left| u \right|}^{2}}+12{{\left| v \right|}^{2}}-12.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right) \\
& 2{{P}^{2}}=2{{\left| 3u-v \right|}^{2}}=18{{\left| u \right|}^{2}}+2{{\left| v \right|}^{2}}-12.\left| u \right|.\left| v \right|.\cos \left( u,v \right) \\
\end{aligned} \right..$
Lấy hai phương trình trừ đi nhau, ta được: $2{{P}^{2}}-48=15{{\left| u \right|}^{2}}-10{{\left| v \right|}^{2}}={{15.2}^{2}}-{{10.3}^{2}}\Rightarrow P=3.$
Đáp án B.