Cho hai số phức thỏa mãn $| 2 z - i | = | 2 + i z |$ ...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Cho hai số phức thỏa mãn

| 2 z - i | = | 2 + i z |

biết

| z_{1} - z_{2} | = 1

. Tính giá trị của biểu thức

P = | z_{1} + z_{2} |

.
A.

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

.
B.

P = \sqrt{2}

.
C.

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

.
D.

P = \sqrt{3}

.

Giả sử

z = a + b i (a, b \in R)

.
Ta có:

| 2 z - i | = | 2 + i z | \Leftrightarrow | 2 (a + b i) - i | = | 2 + i (a + b i) |

\Leftrightarrow | 2 a + (2 b - 1) i | = | (2 - b) + a i | \Leftrightarrow 4 a^{2} + {(2 b - 1)}^{2} = {(2 - b)}^{2} + a^{2} \Leftrightarrow 3 a^{2} + 3 b^{2} = 3 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 1

Đặt

z_{1} = a_{1} + b_{1} i (a_{1}, b_{1} \in R), z_{2} = a_{2} + b_{2} i (a_{2}, b_{2} \in R)

.
Vì

z_{1}, z_{2}

là hai số phức thỏa phương trình

| 2 z - i | = | 2 + i z |

nên

a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = 1, a_{2}^{2} + b_{2}^{2} = 1

.
Ta có:

| z_{1} - z_{2} | = 1 \Leftrightarrow | (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2}) i | = 1

\Leftrightarrow {(a_{1} - a_{2})}^{2} + {(b_{1} - b_{2})}^{2} = 1 \Leftrightarrow a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{2}^{2} - 2 (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) = 1 \Leftrightarrow 2 (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) = 1

Vậy

P = | z_{1} + z_{2} | = | (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i |

= \sqrt{{(a_{1} + a_{2})}^{2} + {(b_{1} + b_{2})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + 2 (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2})} = \sqrt{3}

.

Đáp án D.

Cho hai số phức thỏa mãn |2z−i|=|2+iz|...