Cho hai số $m,n$ là các số nguyên dương khác $1$. Gọi $P$ là tích...

Đặt ${{\log }_{m}}x=t\Rightarrow x={{m}^{t}}$.
Thay vào phương trình ta được: $2022\left( {{\log }_{n}}{{m}^{t}} \right).t=2021t+2022\left( {{\log }_{n}}{{m}^{t}} \right)+2023$
$\Leftrightarrow 2022\left( {{\log }_{n}}m \right).{{t}^{2}}-\left( 2021+2022{{\log }_{n}}m \right)t-2023=0$
Đây là một phương trình bậc $2$ theo $t$ và $ac=-2023.2022{{\log }_{n}}m<0$
Do đó phương trình có $2$ nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ và phương trình ban đầu có hai nghiệm ${{x}_{1}}={{m}^{{{t}_{1}}}}$, ${{x}_{2}}={{m}^{{{t}_{2}}}}$.
Ta có: $P={{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}={{m}^{\dfrac{2021+2022{{\log }_{n}}m}{2022{{\log }_{n}}m}}}={{m}^{1+\dfrac{2021}{2022{{\log }_{n}}m}}}=m.{{\left( {{m}^{\dfrac{1}{{{\log }_{n}}m}}} \right)}^{\dfrac{2021}{2022}}}=m.{{n}^{\dfrac{2021}{2022}}}$
Vì $m$ nguyên dương và khác 1 nên $m\ge 2$, suy ra $P\ge 2\sqrt[2022]{{{n}^{2021}}}$.
Mặt khác $(2021,2022)=1$ và $n\ge 2$ nên P nguyên và nhỏ nhất khi $\left\{ \begin{aligned}
& m=2 \\
& n={{2}^{2022}} \\
\end{aligned} \right.$.