Cho hai số $m,n$ là các số nguyên dương khác $1$. Gọi $P$ là tích...

Đặt ${\log }_{m}x=t\Rightarrow x=m^t$.
Thay vào phương trình ta được: $2022\left({\log }_n{m}^t\right).t=2021t+2022\left({\log }_n{m}^t\right)+2023$
$\iff 2022\left({\log }_{n}m\right).t^2-(2021+2022{\log }_{n}m)t-2023=0$
Đây là một phương trình bậc $2$ theo $t$ và $ac=-2023.2022{\log }_{n}m<0$
Do đó phương trình có $2$ nghiệm $t_1,t_2$ và phương trình ban đầu có hai nghiệm $x_1=m^{t_1}$, $x_2=m^{t_2}$.
Ta có: $P=x_1{x}_2=m^{t_1+t_2}=m^{{\displaystyle \frac{2021+2022{\log }_{n}m}{2022{\log }_{n}m}}}=m^{1+{\displaystyle \frac{2021}{2022{\log }_{n}m}}}=m.{\left(m^{{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{n}m}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{2021}{2022}}}=m.n^{{\displaystyle \frac{2021}{2022}}}$
Vì $m$ nguyên dương và khác 1 nên $m\ge 2$, suy ra $P\ge 2\sqrt[2022]{n^{2021}}$.
Mặt khác $(2021,2022)=1$ và $n\ge 2$ nên P nguyên và nhỏ nhất khi $\{\begin{array}{rl}& m=2\\ & n=2^{2022}\end{array}$.