Google
Câu hỏi: Cho hai số dương x, y thỏa mãn ${{\log }_{2}}{{\left( 4x+y+2xy+2 \right)}^{y+2}}=8-\left( 2x-2 \right)\left( y+2 \right)$. Giá trị nhỏ nhất của $P=2x+y$ là số có dạng $M=a\sqrt{b}+c$ với $a,b\in \mathbb{N},\ a>2$. Khi đó $S=a+b+c$ bằng:
A. $S=17.$
B. $S=7.$
C. $S=19.$
D. $S=3.$
A. $S=17.$
B. $S=7.$
C. $S=19.$
D. $S=3.$
Với hai số dương x, y thỏa mãn ${{\log }_{2}}{{\left( 4x+y+2xy+2 \right)}^{y+2}}=8-\left( 2x-2 \right)\left( y+2 \right).$
Ta có $\begin{aligned}
& \left( y+2 \right){{\log }_{2}}\left( 4x+y+2xy+2 \right)=8-\left( 2x-2 \right)\left( y+2 \right) \\
& \Leftrightarrow \left( y+2 \right){{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)\left( y+2 \right)=8-\left( 2x+1 \right)\left( y+2 \right)+3\left( y+2 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( y+2 \right)=\dfrac{8}{y+2}-\left( 2x+1 \right)+3 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)+\left( 2x+1 \right)={{\log }_{2}}\left( \dfrac{8}{y+2} \right)+\dfrac{8}{y+2}\ \ \left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\ \forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\ \ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) suy ra $f\left( 2x+1 \right)=f\left( \dfrac{8}{y+2} \right)\Rightarrow 2x+1=\dfrac{8}{y+2}\Leftrightarrow y=\dfrac{8}{2x+1}-2$.
$P=2x+y=2x+\dfrac{8}{2x+1}-2=\left( 2x+1 \right)+\left( \dfrac{8}{2x+1} \right)-3\overset{AM-GM}{\mathop{\ge }} 4\sqrt{2}-3.$
Dấu bằng xảy ra khi $2x+1=\dfrac{8}{2x+1}\Leftrightarrow {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}=8\Leftrightarrow x=\dfrac{-1+2\sqrt{2}}{2}.$
Vậy $S=a+b+c=3.$
Ta có $\begin{aligned}
& \left( y+2 \right){{\log }_{2}}\left( 4x+y+2xy+2 \right)=8-\left( 2x-2 \right)\left( y+2 \right) \\
& \Leftrightarrow \left( y+2 \right){{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)\left( y+2 \right)=8-\left( 2x+1 \right)\left( y+2 \right)+3\left( y+2 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( y+2 \right)=\dfrac{8}{y+2}-\left( 2x+1 \right)+3 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)+\left( 2x+1 \right)={{\log }_{2}}\left( \dfrac{8}{y+2} \right)+\dfrac{8}{y+2}\ \ \left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\ \forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\ \ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) suy ra $f\left( 2x+1 \right)=f\left( \dfrac{8}{y+2} \right)\Rightarrow 2x+1=\dfrac{8}{y+2}\Leftrightarrow y=\dfrac{8}{2x+1}-2$.
$P=2x+y=2x+\dfrac{8}{2x+1}-2=\left( 2x+1 \right)+\left( \dfrac{8}{2x+1} \right)-3\overset{AM-GM}{\mathop{\ge }} 4\sqrt{2}-3.$
Dấu bằng xảy ra khi $2x+1=\dfrac{8}{2x+1}\Leftrightarrow {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}=8\Leftrightarrow x=\dfrac{-1+2\sqrt{2}}{2}.$
Vậy $S=a+b+c=3.$
Đáp án D.