Google
Câu hỏi: Cho hai mặt cầu $({{S}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}-6y-4\text{z}-11=0,({{S}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}+4y-2\text{z}-3=0$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Lấy điểm A thuộc đường tròn $(C)$. Gọi I, J lần lượt là tâm của mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$, S là diện tích tam giác AIJ thì S có giá trị là
A. $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{219}$
B. $S=\dfrac{5\sqrt{26}}{2}$
C. $S=\dfrac{15}{2}$
D. $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{209}$
A. $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{219}$
B. $S=\dfrac{5\sqrt{26}}{2}$
C. $S=\dfrac{15}{2}$
D. $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{209}$
Mặt cầu $({{S}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}-6y-4\text{z}-11=0$ có tâm $I(1;3;2)$, bán kính ${{R}_{1}}=5$.
Mặt cầu $({{S}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-2\text{z}-3=0$ có tâm $J(1;-2;1)$, bán kính ${{R}_{2}}=3$.
Có $\text{IJ}=\sqrt{26},{{R}_{1}}-{{R}_{2}}<\text{IJ}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$.
Suy ra hai mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C)$.
Gọi $A(x;y;z)$ là điểm chung của $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ thì tọa độ A là nghiệm đúng của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}-6y-4\text{z}-11=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-2\text{z}-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 5y+z+4=0$
Suy ra A thuộc mặt phẳng $(P):5y+z+4=0$
Giao tuyến của mp $(P)$ và $({{S}_{1}})$ là đường tròn $(C)$ chứa điểm A.
Gọi T là giao điểm của IJ và mp $(P)$ thì T là tâm của đường tròn $(C)$.
Có $d\left( J,(P) \right)=\dfrac{\left| 5.(-2)+1+4 \right|}{\sqrt{26}}=\dfrac{5}{\sqrt{26}}$. Gọi r là bán kính của $(C)$ thì $r=TA=\sqrt{R_{2}^{2}-{{d}^{2}}\left( J,(P) \right)}=\sqrt{\dfrac{209}{26}}$.
$S={{S}_{AIJ}}=\dfrac{1}{2}TA.IJ=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{209}{26}}.\sqrt{26}=\dfrac{1}{2}\sqrt{209}$. Vậy $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{209}$ (đvdt)
Mặt cầu $({{S}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-2\text{z}-3=0$ có tâm $J(1;-2;1)$, bán kính ${{R}_{2}}=3$.
Có $\text{IJ}=\sqrt{26},{{R}_{1}}-{{R}_{2}}<\text{IJ}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$.
Suy ra hai mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C)$.
Gọi $A(x;y;z)$ là điểm chung của $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ thì tọa độ A là nghiệm đúng của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}-6y-4\text{z}-11=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-2\text{z}-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 5y+z+4=0$
Suy ra A thuộc mặt phẳng $(P):5y+z+4=0$
Giao tuyến của mp $(P)$ và $({{S}_{1}})$ là đường tròn $(C)$ chứa điểm A.
Gọi T là giao điểm của IJ và mp $(P)$ thì T là tâm của đường tròn $(C)$.
Có $d\left( J,(P) \right)=\dfrac{\left| 5.(-2)+1+4 \right|}{\sqrt{26}}=\dfrac{5}{\sqrt{26}}$. Gọi r là bán kính của $(C)$ thì $r=TA=\sqrt{R_{2}^{2}-{{d}^{2}}\left( J,(P) \right)}=\sqrt{\dfrac{209}{26}}$.
$S={{S}_{AIJ}}=\dfrac{1}{2}TA.IJ=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{209}{26}}.\sqrt{26}=\dfrac{1}{2}\sqrt{209}$. Vậy $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{209}$ (đvdt)
Đáp án D.