Google
Câu hỏi: Cho hai mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=36$ và $\left( {{S}'} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=81$. Gọi $d$ là đường thẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu trên và cách điểm $M\left( 4;-1;-7 \right)$ một khoảng lớn nhất. Gọi $E\left( m;n;p \right)$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-17=0$. Biểu thức $T=m+n+p$ có giá trị bằng
A. $T=81$.
B. $T=92$.
C. $T=79$.
D. $T=88$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;3 \right)$ và có bán kính $R=6$.
Mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm $K\left( -1;1;1 \right)$ và có bán kính ${R}'=9$.
Lại có $\overrightarrow{KI}=\left( 2;-1;2 \right)\Rightarrow KI=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=3\Rightarrow KI={R}'-R$ suy ra hai mặt cầu tiếp xúc trong tại điểm $A\left( a;b;c \right)$, mà $KA={R}'=9=3KI\Rightarrow \overrightarrow{KA}=3\overrightarrow{KI}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+1=6 \\
& b-1=-3 \\
& c-1=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=5 \\
& b=-2 \\
& c=7 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $A\left( 5;-2;7 \right)$. Vì $d$ là đường thẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu trên nên $d$ đi qua $A$ và vuông góc với $KI$. Kẻ $MH\bot d\Rightarrow MH\le MA$, nên $MH$ lớn nhất khi và chỉ khi $H$ trùng $A$.
Khi đó $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $KI$ và $AM$ suy ra $d$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{KI},\overrightarrow{AM} \right]$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( -1;1;-14 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 12;26;1 \right)$.
Nên phương trình tham số của $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=5+12t \\
& y=-2+26t \\
& z=7+t \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $E=d\cap \left( P \right)$ suy ra $E\left( 5+12t;-2+26t;7+t \right)$.
Vì $E\in \left( P \right)$ suy ra $2\left( 5+12t \right)-\left( -2+26t \right)+\left( 7+t \right)-17=0\Leftrightarrow t=2$ suy ra $E\left( 29;50;9 \right)$.
Mà $E\left( m;n;p \right)$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& m=29 \\
& n=50 \\
& p=9 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ T=88$.
A. $T=81$.
B. $T=92$.
C. $T=79$.
D. $T=88$.
Mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm $K\left( -1;1;1 \right)$ và có bán kính ${R}'=9$.
Lại có $\overrightarrow{KI}=\left( 2;-1;2 \right)\Rightarrow KI=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=3\Rightarrow KI={R}'-R$ suy ra hai mặt cầu tiếp xúc trong tại điểm $A\left( a;b;c \right)$, mà $KA={R}'=9=3KI\Rightarrow \overrightarrow{KA}=3\overrightarrow{KI}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+1=6 \\
& b-1=-3 \\
& c-1=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=5 \\
& b=-2 \\
& c=7 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $A\left( 5;-2;7 \right)$. Vì $d$ là đường thẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu trên nên $d$ đi qua $A$ và vuông góc với $KI$. Kẻ $MH\bot d\Rightarrow MH\le MA$, nên $MH$ lớn nhất khi và chỉ khi $H$ trùng $A$.
Khi đó $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $KI$ và $AM$ suy ra $d$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{KI},\overrightarrow{AM} \right]$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( -1;1;-14 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 12;26;1 \right)$.
Nên phương trình tham số của $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=5+12t \\
& y=-2+26t \\
& z=7+t \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $E=d\cap \left( P \right)$ suy ra $E\left( 5+12t;-2+26t;7+t \right)$.
Vì $E\in \left( P \right)$ suy ra $2\left( 5+12t \right)-\left( -2+26t \right)+\left( 7+t \right)-17=0\Leftrightarrow t=2$ suy ra $E\left( 29;50;9 \right)$.
Mà $E\left( m;n;p \right)$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& m=29 \\
& n=50 \\
& p=9 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ T=88$.
Đáp án D.