Cho hai khối cầu đồng tâm có bán kính là 1 và 4. Xét hình chóp $S . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ có đỉnh S thuộc mặt cầu...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hai khối cầu đồng tâm có bán kính là 1 và 4. Xét hình chóp

S . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

có đỉnh S thuộc mặt cầu nhỏ và các đỉnh

A_{i} . i = \overset{―}{1; 6}

thuộc mặt cầu lớn. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

S . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

.
A. 24
B. 18
C.

24 \sqrt{3}

D.

18 \sqrt{3}

Phương pháp giải:
Giải chi tiết:

Gọi

(S_{1}); (S_{2})

là hai khối cầu tâm O có bán kính lần lượt là

R_{1} = 1, R_{2} = 4

.
Giả sử

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} \in (α)

.
Kẻ

O H ⊥ (α) (H \in (α))

, gọi

S_{0} = O H \cap (S_{1})

sao cho

d (S_{0}; (α)) > d (O; (α))

.
Khi đó ta có:

V_{S . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}} \leq V_{S_{0} . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}} = \frac{1}{3} S_{0} H . S_{A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}}

.
Đặt

O H = x (0 < x < 4)

ta có

S_{0} H = x + 1

.
Áp dụng định lí Pytago ta có:

H A_{1} = \sqrt{O {A_{1}}^{2} - O H^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}}

.

\Rightarrow S_{A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}}

đạt giá trị lớn nhất khi khi và chỉ khi

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

là lục giác đều, khi đó

max S_{A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (16 - x^{2})

.

\Rightarrow V_{S . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}} \leq \frac{1}{3} (x + 1) . \frac{3 \sqrt{3}}{2} (16 - x^{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (x + 1) (16 - x^{2})

.
Xét hàm số

f (x) = (x + 1) (16 - x^{2})

với

0 < x < 4

ta có

f^{'} (x) = 16 - x^{2} - (x + 1) 2 x = - 3 x^{2} - 2 x + 16

.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 (t m) \\ x = - \frac{8}{3} (k t m) \end{array}

BBT:

Dựa vào BBT

\Rightarrow max_{(0; 4)} f (x) = f (2) = 36

.

\Rightarrow V_{S . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} .36 = 18 \sqrt{3}

.
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối chsop

S . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

là

18 \sqrt{3}

.

Đáp án D.

Cho hai khối cầu đồng tâm có bán kính là 1 và 4. Xét hình chóp S.A1A2A3A4A5A6 có đỉnh S thuộc mặt cầu...