Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{1}{{{e}^{x}}-1}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x}{x+1}$ và $y=x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+m$ (m là tham số thực), có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là:
A. 9.
B. 11.
C. 10.
D. 8.
A. 9.
B. 11.
C. 10.
D. 8.
Phương trình hoành độ giao điểm là
$\dfrac{1}{{{e}^{x}}-1}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x}{x+1}=x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+m\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{e}^{x}}-1}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x}{x+1}-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=m$.
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{e}^{x}}-1}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x}{x+1}-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ với $x\ne \left\{ -1;0;2;4 \right\}$ ta có:
$f'\left( x \right)=\dfrac{-{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-\dfrac{5}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
Mặt khác $\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1=\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<0$ (do $x\le \sqrt{{{x}^{2}}}<\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ ) suy ra $f'\left( x \right)<0$.
Do đó hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;0 \right),\left( 0;2 \right),\left( 2;4 \right),\left( 4;+\infty \right)$.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi $m<1$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]$ suy ra có 11 giá trị của tham số m.
$\dfrac{1}{{{e}^{x}}-1}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x}{x+1}=x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+m\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{e}^{x}}-1}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x}{x+1}-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=m$.
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{e}^{x}}-1}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-4}-\dfrac{x}{x+1}-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ với $x\ne \left\{ -1;0;2;4 \right\}$ ta có:
$f'\left( x \right)=\dfrac{-{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-\dfrac{5}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
Mặt khác $\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1=\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<0$ (do $x\le \sqrt{{{x}^{2}}}<\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ ) suy ra $f'\left( x \right)<0$.
Do đó hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;0 \right),\left( 0;2 \right),\left( 2;4 \right),\left( 4;+\infty \right)$.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi $m<1$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]$ suy ra có 11 giá trị của tham số m.
Đáp án B.