Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}$ và $y=\left| x+2 \right|-x-m$ (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của m để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. $\left[ -2;+\infty \right)$
B. $\left( -\infty ;-2 \right)$
C. $\left[ -2;+\infty \right)$
D. $\left( -\infty ;-2 \right]$
A. $\left[ -2;+\infty \right)$
B. $\left( -\infty ;-2 \right)$
C. $\left[ -2;+\infty \right)$
D. $\left( -\infty ;-2 \right]$
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}=\left| x+2 \right|-x-m\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+2 \right|+x=-{{m}_{{}}}(1)$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+2 \right|+x,x\in D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$
Ta có $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-2,x\in \left( -2;+\infty \right)\cup D={{D}_{1}} \\
& \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+2x+2,x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup D={{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Có ${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}},\forall x\in {{D}_{1}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+2,\forall x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Dễ thấy ${f}'\left( x \right)>0,\forall x\in {{D}_{1}}\cup {{D}_{2}}$ ta có bảng biến thiên:
Hai đồ thị cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 4 nghiệm phân biệt, từ bảng biến thiên ta có: $-m\ge 2\Leftrightarrow m\le -2$
$\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}=\left| x+2 \right|-x-m\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+2 \right|+x=-{{m}_{{}}}(1)$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+2 \right|+x,x\in D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$
Ta có $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-2,x\in \left( -2;+\infty \right)\cup D={{D}_{1}} \\
& \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+2x+2,x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup D={{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Có ${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}},\forall x\in {{D}_{1}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+2,\forall x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Dễ thấy ${f}'\left( x \right)>0,\forall x\in {{D}_{1}}\cup {{D}_{2}}$ ta có bảng biến thiên:
Đáp án D.