Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}$ và $y=\left| x+1 \right|-x+m$ (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của m để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là
A. $\left( 3; +\infty \right)$
B. $\left( -\infty ; 3 \right]$
C. $\left( -\infty ; 3 \right)$
D. $\left[ 3; -\infty \right)$
A. $\left( 3; +\infty \right)$
B. $\left( -\infty ; 3 \right]$
C. $\left( -\infty ; 3 \right)$
D. $\left[ 3; -\infty \right)$
Điều kiện: $x\ne -1; x\ne -2; x\ne -3$ và $x\ne -4$.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}=\left| x+1 \right|-x+m$
$\left( 1-\dfrac{1}{x+1} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{x+2} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{x+3} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{x+4} \right)=\left| x+1 \right|-x+m$
$\Leftrightarrow x-\left| x+1 \right|+4-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right)=m$
Đặt tập ${{D}_{1}}=\left( 1; +\infty \right)$ và ${{D}_{2}}=\left( -\infty ; -4 \right)\cup \left( -4; -3 \right)\cup \left( -3; -2 \right)\cup \left( -2; -1 \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right)=m khi x\in {{D}_{1}} \\
& 2x+5-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right)=m, khi x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 3-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right), khi x\in {{D}_{1}} \\
& 2x+5-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right), khi x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \left( {{\left( \dfrac{1}{x+1} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{x+2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{x+3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{x+4} \right)}^{2}} \right)>0, khi x\in {{D}_{1}} \\
& 2+\left( \dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}} \right)>0, khi x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Bảng biến thiên:
Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì $m\ge 3\Rightarrow m\in \left[ 3; +\infty \right)$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}=\left| x+1 \right|-x+m$
$\left( 1-\dfrac{1}{x+1} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{x+2} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{x+3} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{x+4} \right)=\left| x+1 \right|-x+m$
$\Leftrightarrow x-\left| x+1 \right|+4-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right)=m$
Đặt tập ${{D}_{1}}=\left( 1; +\infty \right)$ và ${{D}_{2}}=\left( -\infty ; -4 \right)\cup \left( -4; -3 \right)\cup \left( -3; -2 \right)\cup \left( -2; -1 \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right)=m khi x\in {{D}_{1}} \\
& 2x+5-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right)=m, khi x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 3-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right), khi x\in {{D}_{1}} \\
& 2x+5-\left( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4} \right), khi x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \left( {{\left( \dfrac{1}{x+1} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{x+2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{x+3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{x+4} \right)}^{2}} \right)>0, khi x\in {{D}_{1}} \\
& 2+\left( \dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}} \right)>0, khi x\in {{D}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Bảng biến thiên:
Đáp án D.