Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+\text{d}x-\dfrac{4}{3}$ $(a,b,c,d\in \mathbb{R}$ ) và $g(x)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px$
$\left( m,n,p\in \mathbb{R} \right)$. Đồ thị hai hàm số ${f}'(x)$ và ${g}'(x)$ được cho ở hình bên dưới. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)+\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}$ biết rằng $A B=4$.
A. $\dfrac{175}{45}$.
B. $\dfrac{14848}{1215}$.
C. $\dfrac{14336}{1215}$.
D. $\dfrac{512}{45}$.
$\left( m,n,p\in \mathbb{R} \right)$. Đồ thị hai hàm số ${f}'(x)$ và ${g}'(x)$ được cho ở hình bên dưới. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)+\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}$ biết rằng $A B=4$.
B. $\dfrac{14848}{1215}$.
C. $\dfrac{14336}{1215}$.
D. $\dfrac{512}{45}$.
Ta thấy đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ và đồ thị hàm số $y={g}'(x)$ cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt với các hoành độ $-1,1,2$ nên phương trình ${f}'(x)-{g}'(x)=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt là $-1,1,2$. Do đó ta có
${f}'(x)-{g}'(x)=4a(x+1)(x-1)(x-2)$.
Theo đề
$AB=4\Leftrightarrow {f}'(0)-{g}'(0)=4\Leftrightarrow 8a=4\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}$.
Suy ra
$f(x)-g(x)=\int{\left( {f}'(x)-{g}'(x) \right)}\text{d}x=\int{2}(x+1)(x-1)(x-2)\text{d}x=2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)+C$
Theo đề $f(0)-g(0)=-\dfrac{4}{3}$ nên $C=-\dfrac{4}{3}$.
Suy ra $f(x)-g(x)=2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)-\dfrac{4}{3}$.
Đặt $h(x)=g(x)+\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}$, xét phương trình $f(x)-h(x)=0$. Ta có
$\begin{aligned}
& f(x)-h(x)=0\Leftrightarrow f(x)-g(x)-\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}=0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow 2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$ss
Diện tích hình phẳng đã cho là
$S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| f\left( x \right)-h\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{-2}^{2}{\left| 2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right|dx}$
$=\int\limits_{-2}^{\dfrac{2}{3}}{\left| \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right|dx}+\int\limits_{\dfrac{2}{3}}^{2}{\left| \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right|dx}$
$=\left| \int_{-2}^{\dfrac{2}{3}}{\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right)dx} \right|+\left| \int_{\dfrac{2}{3}}^{2}{\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right)}dx \right|$
$=\left| -\dfrac{14336}{1215} \right|+\left| \dfrac{512}{1215} \right|=\dfrac{14848}{1215}$.
${f}'(x)-{g}'(x)=4a(x+1)(x-1)(x-2)$.
Theo đề
$AB=4\Leftrightarrow {f}'(0)-{g}'(0)=4\Leftrightarrow 8a=4\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}$.
Suy ra
$f(x)-g(x)=\int{\left( {f}'(x)-{g}'(x) \right)}\text{d}x=\int{2}(x+1)(x-1)(x-2)\text{d}x=2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)+C$
Theo đề $f(0)-g(0)=-\dfrac{4}{3}$ nên $C=-\dfrac{4}{3}$.
Suy ra $f(x)-g(x)=2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)-\dfrac{4}{3}$.
Đặt $h(x)=g(x)+\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}$, xét phương trình $f(x)-h(x)=0$. Ta có
$\begin{aligned}
& f(x)-h(x)=0\Leftrightarrow f(x)-g(x)-\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}=0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow 2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$ss
Diện tích hình phẳng đã cho là
$S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| f\left( x \right)-h\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{-2}^{2}{\left| 2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right|dx}$
$=\int\limits_{-2}^{\dfrac{2}{3}}{\left| \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right|dx}+\int\limits_{\dfrac{2}{3}}^{2}{\left| \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right|dx}$
$=\left| \int_{-2}^{\dfrac{2}{3}}{\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right)dx} \right|+\left| \int_{\dfrac{2}{3}}^{2}{\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{4{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{16x}{3}-\dfrac{8}{3} \right)}dx \right|$
$=\left| -\dfrac{14336}{1215} \right|+\left| \dfrac{512}{1215} \right|=\dfrac{14848}{1215}$.
Đáp án B.