Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}$ và $y=\left| x+1 \right|-x+m$ (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right), \left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của m để $\left( {{C}_{1}} \right), \left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. $\left( 3; +\infty \right)$
B. $(-\infty ; 3]$
C. $\left( -\infty ; 3 \right)$
D. $[3; +\infty )$
A. $\left( 3; +\infty \right)$
B. $(-\infty ; 3]$
C. $\left( -\infty ; 3 \right)$
D. $[3; +\infty )$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right); \left( {{C}_{2}} \right)$ là
$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}-\left| x+1 \right|+x=m\left( * \right)$
TH1. Với $x>-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=x+1$ nên (*) trở thành: $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}-1=m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}-1$ trên $\left( -1; +\infty \right)$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1; +\infty \right)$
TH2. Với $x<-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=-x-1$ nên (*) trở thành: $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}+2x+1=m$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}+2x+1$ trên $\left( -\infty ; -1 \right)\backslash \left\{ -4; -3; -2 \right\}$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra $g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ; -4 \right), \left( -4; -3 \right), \left( -3; -2 \right), \left( -2; -1 \right)$
Do đó với mọi m thì phương trình $g\left( x \right)=m$ luôn có bốn nghiệm phân biệt
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( x \right)=m$ vô nghiệm $\Leftrightarrow m\ge 3$.
$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}-\left| x+1 \right|+x=m\left( * \right)$
TH1. Với $x>-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=x+1$ nên (*) trở thành: $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}-1=m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}-1$ trên $\left( -1; +\infty \right)$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1; +\infty \right)$
TH2. Với $x<-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=-x-1$ nên (*) trở thành: $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}+2x+1=m$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{x+3}{x+4}+2x+1$ trên $\left( -\infty ; -1 \right)\backslash \left\{ -4; -3; -2 \right\}$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra $g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ; -4 \right), \left( -4; -3 \right), \left( -3; -2 \right), \left( -2; -1 \right)$
Do đó với mọi m thì phương trình $g\left( x \right)=m$ luôn có bốn nghiệm phân biệt
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( x \right)=m$ vô nghiệm $\Leftrightarrow m\ge 3$.
Đáp án D.