Cho hai hàm số...

Phương trình hoành độ giao điểm là ${\displaystyle \frac{1}{e^x-1}}+{\displaystyle \frac{x}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x+1}{x-4}}-{\displaystyle \frac{x}{x+1}}=x-\sqrt{x^2+1}+m$
$\iff f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{e^x-1}}+{\displaystyle \frac{x}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x+1}{x-4}}-{\displaystyle \frac{x}{x+1}}-x+\sqrt{x^2+1}=m$
Xét $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{e^x-1}}+{\displaystyle \frac{x}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x+1}{x-4}}-{\displaystyle \frac{x}{x+1}}-x+\sqrt{x^2+1}$ với $x\ne \{-1;0;2;4\}$ ta có:
$f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{-e^x}{{(e^x-1)}^2}}-{\displaystyle \frac{2}{{(x-2)}^2}}-{\displaystyle \frac{5}{{(x-4)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{{(x+1)}^2}}-1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$
Mặt khác ${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}-1={\displaystyle \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}<0$ (do $x\le \sqrt{x^2}<\sqrt{x^2+1}$ ) suy ra $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
Do đó hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\mathrm{\infty };-1),(-1;0),(0;2),(2;4),(4;+\mathrm{\infty })$.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi $m<1$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-10;10]$ suy ra có 11 giá trị của tham số m.