Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|$ và $y=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020.$ Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng
A. 506
B. 1011
C. 2020
D. 1010
A. 506
B. 1011
C. 2020
D. 1010
Cách giải:
ĐKXĐ: $x\ne 0,x\ne 2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020$
$\Leftrightarrow \ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}=4m-2020$
TH1: $\left[ \begin{aligned}
& x>2 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right. $ phương trình trở thành $ \ln \dfrac{x-2}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}=4m-2020$
Đặt $f\left( x \right)=\ln \dfrac{x-2}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}$ ta có:
${f}'\left( x \right)=\dfrac{-2}{{{x}^{2}}}:\dfrac{2-x}{x}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{x\left( x-2 \right)}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2x\left( x-2 \right)+3{{x}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-4x+3{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+4x-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{4{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy để phương trình có nghiệm duy nhất thì $\left[ \begin{aligned}
& 4m-2020=0 \\
& 4m-2020=\ln 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=505 \\
& m=\dfrac{2020+\ln 3}{5}\notin Z\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m=505$
TH2: $0<x<2,$ phương trình trở thành: $\ln \dfrac{2-x}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}=4m-2020$
Đặt $f\left( x \right)=\ln \dfrac{2-x}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}$ ta có:
${f}'\left( x \right)=\dfrac{-2}{{{x}^{2}}}:\dfrac{2-x}{x}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{x\left( x-2 \right)}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2x\left( x-2 \right)+3{{x}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-4x+3{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+4x-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{4{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy để phương trình có nghiệm duy nhất thì $4m-2020=4\Leftrightarrow m=506\left( tm \right)$
$\Rightarrow m=506$
Kết hợp 2 TH ta có $m\in \left\{ 505;506 \right\}$
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $505+506=1011$
ĐKXĐ: $x\ne 0,x\ne 2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020$
$\Leftrightarrow \ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}=4m-2020$
TH1: $\left[ \begin{aligned}
& x>2 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right. $ phương trình trở thành $ \ln \dfrac{x-2}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}=4m-2020$
Đặt $f\left( x \right)=\ln \dfrac{x-2}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}$ ta có:
${f}'\left( x \right)=\dfrac{-2}{{{x}^{2}}}:\dfrac{2-x}{x}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{x\left( x-2 \right)}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2x\left( x-2 \right)+3{{x}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-4x+3{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+4x-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{4{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy để phương trình có nghiệm duy nhất thì $\left[ \begin{aligned}
& 4m-2020=0 \\
& 4m-2020=\ln 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=505 \\
& m=\dfrac{2020+\ln 3}{5}\notin Z\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m=505$
TH2: $0<x<2,$ phương trình trở thành: $\ln \dfrac{2-x}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}=4m-2020$
Đặt $f\left( x \right)=\ln \dfrac{2-x}{x}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}$ ta có:
${f}'\left( x \right)=\dfrac{-2}{{{x}^{2}}}:\dfrac{2-x}{x}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{x\left( x-2 \right)}+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2x\left( x-2 \right)+3{{x}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-4x+3{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+4x-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{4{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy để phương trình có nghiệm duy nhất thì $4m-2020=4\Leftrightarrow m=506\left( tm \right)$
$\Rightarrow m=506$
Kết hợp 2 TH ta có $m\in \left\{ 505;506 \right\}$
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $505+506=1011$
Đáp án C.