Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như sau: Khi đó tổng...

Quan sát đồ thị ta thấy
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\left( -3<{{x}_{1}}<-2 \right) \\
& x=-1 \\
& x={{x}_{2}}\left( 1<{{x}_{2}}<2 \right) \\
& x={{x}_{3}}\left( 2<{{x}_{3}}<3 \right) \\
& x={{x}_{4}}\left( 4<{{x}_{4}}<5 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $f\left( g\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& g\left( x \right)={{x}_{1}}\left( 1 \right) \\
& g\left( x \right)=-1\left( 2 \right) \\
& g\left( x \right)={{x}_{2}}\left( 3 \right) \\
& g\left( x \right)={{x}_{3}}\left( 4 \right) \\
& g\left( x \right)={{x}_{4}}\left( 5 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm; phương trình (2) có đúng 3 nghiệm; phương trình (3) có đúng 3 nghiệm; phương trình (4) có đúng 3 nghiệm; phương trình (5) có đúng 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình f(g(x)) = 0 có đúng 11 nghiệm.
Quan sát đồ thị ta thấy $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{5}}\left( -2<{{x}_{5}}<-1 \right) \\
& x={{x}_{6}}\left( 0<{{x}_{6}}<1 \right) \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $g\left( f\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}_{5}}\left( 6 \right) \\
& f\left( x \right)={{x}_{6}}\left( 7 \right) \\
& f\left( x \right)=3\left( 8 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình (6) có 5 nghiệm; phương trình (7) có 5 nghiệm; phương trình (8) có 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình (f(g(x)) = 0 có đúng 11 nghiệm.
Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình f(g(x)) = 0 và g(f(x)) = 0 là 22 nghiệm.