Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như sau: Khi đó tổng...

Quan sát đồ thị ta thấy
$f\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=x_1(-3<x_1<-2)\\ & x=-1\\ & x=x_2(1<x_2<2)\\ & x=x_3(2<x_3<3)\\ & x=x_4(4<x_4<5)\end{array}$
Do đó $f\left(g\left(x\right)\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& g\left(x\right)=x_1\left(1\right)\\ & g\left(x\right)=-1\left(2\right)\\ & g\left(x\right)=x_2\left(3\right)\\ & g\left(x\right)=x_3\left(4\right)\\ & g\left(x\right)=x_4\left(5\right)\end{array}$
Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm; phương trình (2) có đúng 3 nghiệm; phương trình (3) có đúng 3 nghiệm; phương trình (4) có đúng 3 nghiệm; phương trình (5) có đúng 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình f(g(x)) = 0 có đúng 11 nghiệm.
Quan sát đồ thị ta thấy $g\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=x_5(-2<x_5<-1)\\ & x=x_6(0<x_6<1)\\ & x=3\end{array}$
Do đó $g\left(f\left(x\right)\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x_5\left(6\right)\\ & f\left(x\right)=x_6\left(7\right)\\ & f\left(x\right)=3\left(8\right)\end{array}$
Phương trình (6) có 5 nghiệm; phương trình (7) có 5 nghiệm; phương trình (8) có 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình (f(g(x)) = 0 có đúng 11 nghiệm.
Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình f(g(x)) = 0 và g(f(x)) = 0 là 22 nghiệm.