Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$. Hai hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số $y={g}'\left( x \right)$.
Hàm số $h\left( x \right)=f\left( x+4 \right)-g\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 5;\dfrac{31}{5} \right)$.
B. $\left( \dfrac{9}{4};3 \right)$.
C. $\left( \dfrac{31}{5};+\infty \right)$.
D. $\left( 6;\dfrac{25}{4} \right)$.
A. $\left( 5;\dfrac{31}{5} \right)$.
B. $\left( \dfrac{9}{4};3 \right)$.
C. $\left( \dfrac{31}{5};+\infty \right)$.
D. $\left( 6;\dfrac{25}{4} \right)$.
Kẻ đường thẳng $y=10$ cắt đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ tại $A\left( a;10 \right)$, $a\in \left( 8;10 \right)$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x+4 \right)>10,khi 3<x+4<a \\
& g\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)\le 5,khi 0\le 2x-\dfrac{3}{2}<11 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x+4 \right)>10,khi -1<x<4 \\
& g\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)\le 5,khi \dfrac{3}{4}\le x\le \dfrac{25}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+4 \right)-2{g}'\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)>0$ khi $\dfrac{3}{4}\le x<4$.
Kiểu đánh giá khác:
Ta có ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+4 \right)-2{g}'\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)$.
Dựa vào đồ thị, $\forall x\in \left( \dfrac{9}{4};3 \right)$, ta có $\dfrac{25}{4}<x+4<7$, $f\left( x+4 \right)>f\left( 3 \right)=10$ ;
$3<2x-\dfrac{3}{2}<\dfrac{9}{2}$, do đó $g\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)<f\left( 8 \right)=5$.
Suy ra ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+4 \right)-2{g}'\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)>0,\forall x\in \left( \dfrac{9}{4};3 \right)$. Do đó hàm số đồng biến trên $\left( \dfrac{9}{4};3 \right)$.
& f\left( x+4 \right)>10,khi 3<x+4<a \\
& g\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)\le 5,khi 0\le 2x-\dfrac{3}{2}<11 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x+4 \right)>10,khi -1<x<4 \\
& g\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)\le 5,khi \dfrac{3}{4}\le x\le \dfrac{25}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+4 \right)-2{g}'\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)>0$ khi $\dfrac{3}{4}\le x<4$.
Kiểu đánh giá khác:
Ta có ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+4 \right)-2{g}'\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)$.
Dựa vào đồ thị, $\forall x\in \left( \dfrac{9}{4};3 \right)$, ta có $\dfrac{25}{4}<x+4<7$, $f\left( x+4 \right)>f\left( 3 \right)=10$ ;
$3<2x-\dfrac{3}{2}<\dfrac{9}{2}$, do đó $g\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)<f\left( 8 \right)=5$.
Suy ra ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+4 \right)-2{g}'\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right)>0,\forall x\in \left( \dfrac{9}{4};3 \right)$. Do đó hàm số đồng biến trên $\left( \dfrac{9}{4};3 \right)$.
Đáp án B.