Cho hai hàm số $y=f\left( x \right), y=g\left( x \right)$ có đồ...

Quan sát đồ thị ta thấy: $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\left( -3<{{x}_{1}}<-2 \right) \\
& x=-1 \\
& x={{x}_{2}}\left( 1<{{x}_{2}}<2 \right) \\
& x={{x}_{3}}\left( 2<{{x}_{3}}<3 \right) \\
& x={{x}_{4}}\left( 4<{{x}_{4}}<5 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó: $f\left( g\left( x \right) \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& g\left( x \right)={{x}_{1}}\left( 1 \right) \\
& g\left( x \right)=-1\left( 2 \right) \\
& g\left( x \right)={{x}_{2}}\left( 3 \right) \\
& g\left( x \right)={{x}_{3}}\left( 4 \right) \\
& g\left( x \right)={{x}_{4}}\left( 5 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng $1$ nghiệm; Phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng $3$ nghiệm; Phương trình $\left( 3 \right)$ có đúng $3$ nghiệm; Phương trình $\left( 4 \right)$ có đúng $3$ nghiệm; Phương trình $\left( 5 \right)$ có đúng $1$ nghiệm. Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình $f\left( g\left( x \right) \right)=0$ có đúng $11$ nghiệm.
Quan sát đồ thị ta thấy: $g\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{5}}\left( -2<{{x}_{5}}<-1 \right) \\
& x={{x}_{6}}\left( 0<{{x}_{6}}<1 \right) \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $g\left( f\left( x \right) \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}_{5}}\left( 6 \right) \\
& f\left( x \right)={{x}_{6}}\left( 7 \right) \\
& f\left( x \right)=3\left( 8 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $\left( 6 \right)$ có $5$ nghiệm; Phương trình $\left( 7 \right)$ có $5$ nghiệm; Phương trình $\left( 8 \right)$ có $1$ nghiệm.
Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình $g\left( f\left( x \right) \right)=0$ có đúng $11$ nghiệm.
Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình $f\left( g\left( x \right) \right)=0$ và $g\left( f\left( x \right) \right)=0$ là $22$ nghiệm.