Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+2$ và $y={g}'\left( x \right)$ (có đồ thị như hình vẽ dưới đây). Biết $g\left( 0 \right)=2$ và $\int\limits_{2}^{3}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx=\dfrac{5}{12}}$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$.
A. $S=\dfrac{162}{35}$.
B. $S=\dfrac{37}{6}$.
C. $S=\dfrac{37}{12}$.
D. $S=\dfrac{9}{4}$.
B. $S=\dfrac{37}{6}$.
C. $S=\dfrac{37}{12}$.
D. $S=\dfrac{9}{4}$.
Dựa vào đồ thị ta có ${g}'\left( x \right)=2x-4$. Suy ra $g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+c$.
Mà $g\left( 0 \right)=2\Rightarrow c=2$, nên $g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+2$.
Mặt khác
$\dfrac{5}{12}=\int\limits_{2}^{3}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}=\int\limits_{2}^{3}{\left( -a{{x}^{3}}+\left( 1-b \right){{x}^{2}}-\left( 4+c \right)x \right)dx}$
$\Leftrightarrow \left. \left( -\dfrac{a{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{\left( 1-b \right){{x}^{3}}}{3}-\dfrac{\left( 4+c \right){{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{2}^{3}=\dfrac{5}{12}\Leftrightarrow -\dfrac{65}{4}a-\dfrac{19}{3}b-\dfrac{5}{2}c=\dfrac{49}{12}\text{ }\left( 1 \right)$.
Dựa vào đồ thị ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)=-2 \\
& f\left( 3 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a+2b+c=-2 \\
& 9a+3b+c=-1 \\
\end{aligned} \right.\text{ }\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được $a=1, b=-4, c=2$.
Nên $f\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2$.
Xét $f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$
$S=\int\limits_{0}^{3}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2-{{x}^{2}}+4x-2 \right|}dx$
$=\left| \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2-{{x}^{2}}+4x-2 \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{2}^{3}{\left( {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2-{{x}^{2}}+4x-2 \right)}dx \right|=\dfrac{37}{12}$.
Mà $g\left( 0 \right)=2\Rightarrow c=2$, nên $g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+2$.
Mặt khác
$\dfrac{5}{12}=\int\limits_{2}^{3}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}=\int\limits_{2}^{3}{\left( -a{{x}^{3}}+\left( 1-b \right){{x}^{2}}-\left( 4+c \right)x \right)dx}$
$\Leftrightarrow \left. \left( -\dfrac{a{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{\left( 1-b \right){{x}^{3}}}{3}-\dfrac{\left( 4+c \right){{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{2}^{3}=\dfrac{5}{12}\Leftrightarrow -\dfrac{65}{4}a-\dfrac{19}{3}b-\dfrac{5}{2}c=\dfrac{49}{12}\text{ }\left( 1 \right)$.
Dựa vào đồ thị ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)=-2 \\
& f\left( 3 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a+2b+c=-2 \\
& 9a+3b+c=-1 \\
\end{aligned} \right.\text{ }\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được $a=1, b=-4, c=2$.
Nên $f\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2$.
Xét $f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$
$S=\int\limits_{0}^{3}{\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2-{{x}^{2}}+4x-2 \right|}dx$
$=\left| \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2-{{x}^{2}}+4x-2 \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{2}^{3}{\left( {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2x+2-{{x}^{2}}+4x-2 \right)}dx \right|=\dfrac{37}{12}$.
Đáp án C.