Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số ${y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}}$ và ${y = \left| {x + 1} \right| - x + m}$ có đồ thị ${\left( {{C_1}} \right)}$ và ${\left( {{C_2}} \right)}$. Tập hợp các giá trị của ${m}$ để ${\left( {{C_1}} \right)}$ cắt ${\left( {{C_2}} \right)}$ tại ${3}$ điểm là
A. ${m > 3}$.
B. ${m > 2}$.
C. ${m \ge 2}$.
D. ${m \ge 3}$.
A. ${m > 3}$.
B. ${m > 2}$.
C. ${m \ge 2}$.
D. ${m \ge 3}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là
$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}=\left| x+1 \right|-x+m$ $\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+1 \right|+x=m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+1 \right|+x$
$f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-\dfrac{\left( x+1 \right)}{\left| x+1 \right|}+1>0$ $,\forall x\notin \left\{ -1;-2;-3 \right\}$
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-3 \right),\left( -3;-2 \right),\left( -2;-1 \right),\left( -1;+\infty \right)$
Mặt khác $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+1 \right|+x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\left( x+1 \right) \right)$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biên thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm thì m $m\ge 2$.
$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}=\left| x+1 \right|-x+m$ $\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+1 \right|+x=m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+1 \right|+x$
$f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-\dfrac{\left( x+1 \right)}{\left| x+1 \right|}+1>0$ $,\forall x\notin \left\{ -1;-2;-3 \right\}$
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-3 \right),\left( -3;-2 \right),\left( -2;-1 \right),\left( -1;+\infty \right)$
Mặt khác $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}-\left| x+1 \right|+x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\left( x+1 \right) \right)$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biên thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm thì m $m\ge 2$.
Đáp án C.