Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{{{x}^{2}}-1}$ và $y=x-\left| x+1 \right|+m$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -10;10 \right)$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt là
A. $6$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $9$.
A. $6$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $9$.
Xét phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{{{x}^{2}}-1}=x-\left| x+1 \right|+m$. Điều kiện $x\ne \pm 1$.
PT trên $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1} \right)+1-x+\left| x+1 \right|=m$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1} \right)+1-x+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ với $x\ne \pm 1$.
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( -\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)-1+\dfrac{\left( x+1 \right)}{\left| x+1 \right|}\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)-\dfrac{\left| x+1 \right|-\left( x+1 \right)}{\left| x-1 \right|}$
Do $\left| x+1 \right|\ge \left( x+1 \right)$, suy ra $f'\left( x \right)<0, \forall x\ne \pm 1.$
BBT:
Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m>2$.
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số $m$.
PT trên $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1} \right)+1-x+\left| x+1 \right|=m$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1} \right)+1-x+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ với $x\ne \pm 1$.
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( -\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)-1+\dfrac{\left( x+1 \right)}{\left| x+1 \right|}\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)-\dfrac{\left| x+1 \right|-\left( x+1 \right)}{\left| x-1 \right|}$
Do $\left| x+1 \right|\ge \left( x+1 \right)$, suy ra $f'\left( x \right)<0, \forall x\ne \pm 1.$
BBT:
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số $m$.
Đáp án B.