Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ và $y=mx-m\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Số các giá trị nguyên của tham số $m$ đề $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt là
A. 5.
B. 3.
C. 4.
D. 8.
A. 5.
B. 3.
C. 4.
D. 8.
Phương trình hoành độ giao điểm là $2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\left( 1-x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=mx-m\sqrt{1-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}-\left( 1-{{x}^{2}} \right) \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ với $-1\le x\le 1$
$\Leftrightarrow 2\left( x-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0 \\
& 2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}=1-{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Lại có $2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1-+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\Leftrightarrow \left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 2+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\left( * \right)$
Điều kiện bài toán là tìm $m$ để phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất
Đặt $t=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {t}'=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ta có:
Mặt khác $t\left( 1+{{t}^{2}} \right)=m\Leftrightarrow m={{t}^{3}}+t=f\left( t \right)$ để hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ -1;\sqrt{2} \right]$ và $f\left( -1 \right)=-2$ ; $f\left( \sqrt{2} \right)=3\sqrt{2};f\left( 1 \right)=2$. Để (*) có đúng 1 nghiệm thì $m=f\left( t \right)$ có đúng 1 nghiệm $t\in \left[ -1;1 \right]$ hoặc $t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& -2\le m<2 \\
& m=3\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $. Kết hợp $ m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0;1 \right\}$.
$\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}-\left( 1-{{x}^{2}} \right) \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ với $-1\le x\le 1$
$\Leftrightarrow 2\left( x-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0 \\
& 2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}=1-{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Lại có $2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1-+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\Leftrightarrow \left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 2+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=m\left( * \right)$
Điều kiện bài toán là tìm $m$ để phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất
Đặt $t=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {t}'=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ta có:
Mặt khác $t\left( 1+{{t}^{2}} \right)=m\Leftrightarrow m={{t}^{3}}+t=f\left( t \right)$ để hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ -1;\sqrt{2} \right]$ và $f\left( -1 \right)=-2$ ; $f\left( \sqrt{2} \right)=3\sqrt{2};f\left( 1 \right)=2$. Để (*) có đúng 1 nghiệm thì $m=f\left( t \right)$ có đúng 1 nghiệm $t\in \left[ -1;1 \right]$ hoặc $t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& -2\le m<2 \\
& m=3\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $. Kết hợp $ m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0;1 \right\}$.
Đáp án C.