Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f'(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, $g'(x)=q{{x}^{2}}+nx+p$ với $a,q\ne 0$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f'(x)$ và $y=g'(x)$ bằng $10$ và $f(2)=g(2)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$.
A. $\dfrac{8}{3}$.
B. $\dfrac{8}{15}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{16}{5}$.
B. $\dfrac{8}{15}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{16}{5}$.
Đặt $h(x)=f(x)-g(x)$ $\Rightarrow $ $h'(x)=f'(x)-g'(x).$
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Theo đề: $S=10$. Do đó: $k=20.$
$h'(x)=20x(x-1)(x-2)$
$h(x)=\int{20x(x-1)(x-2)}\text{d}x=20\int{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right)}\text{d}x=20\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)+C$
Vì $f(2)=g(2)$ $h(2)=f(2)-g(2)=0$ $C=0$
Do đó: $h(x)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $f(x)=g(x)$ $\Leftrightarrow $ $f(x)-g(x)=0$
$\Leftrightarrow $ $h(x)=0$
$\Leftrightarrow $ $5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f(x)-g(x) \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{2}{\left| h(x) \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{2}{\left| 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}} \right|}\text{d}x=\dfrac{16}{3}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm
${f}'\left( x \right)={g}'\left( x \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0$.
Vì hai đồ thị $y=f'(x)$ và $y=g'(x)$ cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng $0; 1; 2$ nên phương trình có các nghiệm là $x=0;$ $x=1$ và $x=2$. Do đó, ta có$h'(x)=f'(x)-g'(x)=kx(x-1)(x-2)$ $\left( k\ne 0 \right).$
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f'(x)$ và $y=g'(x)\text{ :}$ $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f'(x)-g'(x) \right|}\text{d}x=k\int\limits_{0}^{1}{x\left( x-1 \right)}\left( x-2 \right)\text{d}x-k\int\limits_{1}^{2}{x\left( x-1 \right)}\left( x-2 \right)\text{d}x=\dfrac{1}{2}k.$ Theo đề: $S=10$. Do đó: $k=20.$
$h'(x)=20x(x-1)(x-2)$
$h(x)=\int{20x(x-1)(x-2)}\text{d}x=20\int{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right)}\text{d}x=20\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)+C$
Vì $f(2)=g(2)$ $h(2)=f(2)-g(2)=0$ $C=0$
Do đó: $h(x)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $f(x)=g(x)$ $\Leftrightarrow $ $f(x)-g(x)=0$
$\Leftrightarrow $ $h(x)=0$
$\Leftrightarrow $ $5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f(x)-g(x) \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{2}{\left| h(x) \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{2}{\left| 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}} \right|}\text{d}x=\dfrac{16}{3}.$
Đáp án C.