Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên $R$ và thỏa...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên

R

và thỏa mãn

f (2) + g (2) = 5; g (x) = - x . f^{'} (x); f (x) = - x . g^{'} (x) .

Tính

I = \int_{1}^{9} [f (x) + g (x)] d x .

A.

20 \ln 3.

B.

10 \ln 3.

C.

20 \ln \frac{9}{2} .

D.

10 \ln \frac{9}{2} .

Ta có

f (x) + g (x) = - x [f^{'} (x) + g^{'} (x)]

\Rightarrow \int [f (x) + g (x)] d x = - \int x [f^{'} (x) + g^{'} (x)] d x = - \int x d [f (x) + g (x)]

\Rightarrow \int [f (x) + g (x)] d x = - x [f (x) + g (x)] + C + \int [f (x) + g (x)] d x

\Rightarrow x [f (x) + g (x)] = C \Rightarrow f (x) + g (x) = \frac{C}{x} .

Bài ra

f (2) + g (2) = 5 \Rightarrow 5 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 10 \Rightarrow f (x) + g (x) = \frac{10}{x}

\Rightarrow I = \int_{1}^{9} [f (x) + g (x)] d x = {\int_{1}^{9} \frac{10}{x} d x = 10 \ln | x | |}_{1}^{9} = 10 \ln 9 = 20 \ln 3.

Đáp án A.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên R và thỏa...