Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1 ; 4]$ và...

$
\begin{aligned}
& \text { Ta có } f(x)+g(x)=-x\left[f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\right] \Leftrightarrow \dfrac{f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)}{f(x)+g(x)}=-\dfrac{1}{x} \\
& \Leftrightarrow \int \dfrac{f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)}{f(x)+g(x)} \mathrm{d} x=-\int \dfrac{1}{x} \mathrm{~d} x \Rightarrow \ln |f(x)+g(x)|=-\ln |x|+C
\end{aligned}
$
Theo giả thiêt ta có $C-\ln |1|=\ln |f(1)+g(1)| \Rightarrow C=\ln 4$.
$
\begin{aligned}
& \text { Suy ra }\left[\begin{array}{l}
f(x)+g(x)=\dfrac{4}{x} \\
f(x)+g(x)=-\dfrac{4}{x}
\end{array} \text {, vì } f(1)+g(1)=4 \text { nên } f(x)+g(x)=\dfrac{4}{x}\right. \\
& \Rightarrow I=\int_1^4[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x=8 \ln 2 \text {. }
\end{aligned}
$