Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+3x$ và $g(x)=m x^{3}+n x^{2}-x ;$ với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1, 2$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{32}{3}$.
B. $\dfrac{71}{9}$.
C. $\dfrac{71}{6}$.
D. $\dfrac{64}{9}$.
A. $\dfrac{32}{3}$.
B. $\dfrac{71}{9}$.
C. $\dfrac{71}{6}$.
D. $\dfrac{64}{9}$.
Ta có : $f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+3$ và $g^{\prime}(x)=3 m x^{2}+2 n x-1$.
$h(x)=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1,2$ và 3 khi
$h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt là $-1,2$ và 3
$\Leftrightarrow f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=t(x+1)(x-2)(x-3)(t=4 a)(*)$
Thay $x=0$ vào hai vế của $(*)$ ta được:
$
f^{\prime}(0)-g^{\prime}(0)=6 t \Leftrightarrow 3-(-1)=6 t \Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3} \text {. }
$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime}(x)$ và $y=g^{\prime}(x)$ là
$
S=\int_{-1}^{3}\left|\dfrac{2}{3}(x+1)(x-2)(x-3)\right| \mathrm{d} x=\dfrac{71}{9} .
$
$h(x)=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1,2$ và 3 khi
$h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt là $-1,2$ và 3
$\Leftrightarrow f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=t(x+1)(x-2)(x-3)(t=4 a)(*)$
Thay $x=0$ vào hai vế của $(*)$ ta được:
$
f^{\prime}(0)-g^{\prime}(0)=6 t \Leftrightarrow 3-(-1)=6 t \Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3} \text {. }
$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime}(x)$ và $y=g^{\prime}(x)$ là
$
S=\int_{-1}^{3}\left|\dfrac{2}{3}(x+1)(x-2)(x-3)\right| \mathrm{d} x=\dfrac{71}{9} .
$
Đáp án B.