Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x-1$ và $g(x)=d x^{2}+e x+\dfrac{1}{2}(a, b, c, d, e \in R)$. Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3 ;-1 ; 2$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. $\dfrac{253}{12}$
B. $\dfrac{125}{12}$
C. $\dfrac{253}{48}$
D. $\dfrac{125}{48}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-1=d{{x}^{2}}+ex+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\dfrac{3}{2}=0$
Dễ thấy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt $-3 ;-1 ; 2$ nên
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\dfrac{3}{2}=a(x+3)(x+1)(x-2) \\
& \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\dfrac{3}{2}=a{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}-5ax+6a \\
\end{aligned}$
Đồng nhất hệ số ta được:
$\begin{aligned}
& -\dfrac{3}{2}=6a\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow f(x)-g(x)=-\dfrac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2) \\
& \Rightarrow S=\int_{-3}^{-1}{\left| -\dfrac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2) \right|}dx+\int_{-1}^{2}{\left| -\dfrac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2) \right|}dx=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{16}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{63}{4}=\dfrac{253}{48} \\
\end{aligned}$
B. $\dfrac{125}{12}$
C. $\dfrac{253}{48}$
D. $\dfrac{125}{48}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-1=d{{x}^{2}}+ex+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\dfrac{3}{2}=0$
Dễ thấy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt $-3 ;-1 ; 2$ nên
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\dfrac{3}{2}=a(x+3)(x+1)(x-2) \\
& \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\dfrac{3}{2}=a{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}-5ax+6a \\
\end{aligned}$
Đồng nhất hệ số ta được:
$\begin{aligned}
& -\dfrac{3}{2}=6a\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow f(x)-g(x)=-\dfrac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2) \\
& \Rightarrow S=\int_{-3}^{-1}{\left| -\dfrac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2) \right|}dx+\int_{-1}^{2}{\left| -\dfrac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2) \right|}dx=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{16}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{63}{4}=\dfrac{253}{48} \\
\end{aligned}$
Đáp án C.