Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\dfrac{1}{2}$ và $g\left( x \right)=d{{x}^{2}}+ex-1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $3$, $1$ và $-1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là:
A. $4$.
B. $8$.
C. $2$.
D. $16$.
A. $4$.
B. $8$.
C. $2$.
D. $16$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ :
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\dfrac{1}{2}=d{{x}^{2}}+ex-1$ $\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x+\dfrac{3}{2}=0\left( * \right)$
Vì hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $3$, $1$ và $-1$ nên phương trình $\left( * \right)$ có ba nghiệm lần lượt là $3$, $1$ và $-1$.
Khi đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow a\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow a\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x \right)+3a=0\left( ** \right)$
Từ $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ suy ra $3a=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là:
$S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \right|dx}$
$=\dfrac{1}{2}\left| \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)dx} \right|+\dfrac{1}{2}\left| \int\limits_{1}^{3}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)dx} \right|=4$
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\dfrac{1}{2}=d{{x}^{2}}+ex-1$ $\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x+\dfrac{3}{2}=0\left( * \right)$
Vì hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $3$, $1$ và $-1$ nên phương trình $\left( * \right)$ có ba nghiệm lần lượt là $3$, $1$ và $-1$.
Khi đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow a\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow a\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x \right)+3a=0\left( ** \right)$
Từ $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ suy ra $3a=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là:
$S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \right|dx}$
$=\dfrac{1}{2}\left| \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)dx} \right|+\dfrac{1}{2}\left| \int\limits_{1}^{3}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)dx} \right|=4$
Đáp án A.