Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+2x$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x$, với $a, b, c, m, n\in \mathbb{R}.$ Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1; 2$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{71}{12}$.
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{71}{12}$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=\left( 4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+2 \right)-\left( 3m{{x}^{2}}+2nx-1 \right)$
$=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+3$.
Vì hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1; 2;3$ nên phương trình ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt là $-1; 2$ và $3$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$, $a\ne 0$.
Mặt khác, ${f}'\left( 0 \right)-{g}'\left( 0 \right)=3\Rightarrow 24a=3\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|}dx=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|}dx=\dfrac{71}{12}$.
$=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+3$.
Vì hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1; 2;3$ nên phương trình ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt là $-1; 2$ và $3$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$, $a\ne 0$.
Mặt khác, ${f}'\left( 0 \right)-{g}'\left( 0 \right)=3\Rightarrow 24a=3\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|}dx=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|}dx=\dfrac{71}{12}$.
Đáp án D.