Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ với $a\ne 0$ và $g\left( x \right)=p{{x}^{2}}+qx-3$ có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là $2;-1;1;m$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=g\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc bằng $-\dfrac{15}{2}$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ (phần được tô đậm như hình vẽ). Diện tích của hình $\left( H \right)$ bằng.
A. $\dfrac{1553}{120}.$
B. $\dfrac{1553}{240}.$
C. $\dfrac{1553}{60}.$
D. $\dfrac{1553}{30}.$
B. $\dfrac{1553}{240}.$
C. $\dfrac{1553}{60}.$
D. $\dfrac{1553}{30}.$
+ Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua gốc tọa độ nên $e=0$.
+ Xét hàm số
$h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+\left( c-p \right){{x}^{2}}+\left( d-q \right)x+3$ $=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)$
Đồng nhất hệ số 2 đa thức ta được $3=2ma$ $\left( 1 \right)$
+Theo bài, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc bằng $-\dfrac{15}{2}$ nên ${h}'\left( -2 \right)=-\dfrac{15}{2}$.
Do đó $a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)\left| _{x=-2} \right.=-\dfrac{15}{2}\Leftrightarrow 2a\left( m+2 \right)=5$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $a=\dfrac{1}{2},m=3$.
Vậy $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+3$
+ Diện tích hình $\left( H \right)$ bằng ${{S}_{H}}=\int\limits_{-2}^{-1}{h\left( x \right)}dx+\int\limits_{-1}^{-1}{h\left( x \right)}dx-\int\limits_{1}^{3}{h\left( x \right)}dx=\dfrac{113}{120}+\dfrac{58}{15}+\dfrac{122}{15}=\dfrac{1553}{120}$.
Note 64: Phương pháp chung
Để giải quyết bài toán ta cần sử dụng một số đơn vị kiến thức sau
Đa thức $P\left( x \right)$ bậc $n$ có $n$ nghiệm phân biệt thì $P\left( x \right)=a.\left( x-{{x}_{1}} \right).....\left( x-{{x}_{n}} \right).$
Công thức diện tích hình phẳng: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx$.
+ Xét hàm số
$h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+\left( c-p \right){{x}^{2}}+\left( d-q \right)x+3$ $=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)$
Đồng nhất hệ số 2 đa thức ta được $3=2ma$ $\left( 1 \right)$
+Theo bài, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc bằng $-\dfrac{15}{2}$ nên ${h}'\left( -2 \right)=-\dfrac{15}{2}$.
Do đó $a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)\left| _{x=-2} \right.=-\dfrac{15}{2}\Leftrightarrow 2a\left( m+2 \right)=5$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $a=\dfrac{1}{2},m=3$.
Vậy $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+3$
+ Diện tích hình $\left( H \right)$ bằng ${{S}_{H}}=\int\limits_{-2}^{-1}{h\left( x \right)}dx+\int\limits_{-1}^{-1}{h\left( x \right)}dx-\int\limits_{1}^{3}{h\left( x \right)}dx=\dfrac{113}{120}+\dfrac{58}{15}+\dfrac{122}{15}=\dfrac{1553}{120}$.
Note 64: Phương pháp chung
Để giải quyết bài toán ta cần sử dụng một số đơn vị kiến thức sau
Đa thức $P\left( x \right)$ bậc $n$ có $n$ nghiệm phân biệt thì $P\left( x \right)=a.\left( x-{{x}_{1}} \right).....\left( x-{{x}_{n}} \right).$
Công thức diện tích hình phẳng: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx$.
Đáp án A.