Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+2x$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-2x$ với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1, 2$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f'\left( x \right)$ và $y=g'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{32}{3}$.
B. $\dfrac{71}{9}$.
C. $\dfrac{71}{6}$.
D. $\dfrac{64}{9}$.
A. $\dfrac{32}{3}$.
B. $\dfrac{71}{9}$.
C. $\dfrac{71}{6}$.
D. $\dfrac{64}{9}$.
Ta có: $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+\left( b-m \right){{x}^{3}}+\left( c-n \right){{x}^{2}}+4x$
$\Rightarrow y'=f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+4$
Vì hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1, 2$ và $3$ nên
$y'=f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+4=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
Đồng nhất hệ số, ta suy ra: $4=24a\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{6}$
Do đó: $f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f'\left( x \right)$ và $y=g'\left( x \right)$ là:
$S=\int_{-1}^{3}{\left| f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right|dx}=\int_{-1}^{3}{\left| \dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|dx}=\dfrac{71}{9}$.
$\Rightarrow y'=f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+4$
Vì hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1, 2$ và $3$ nên
$y'=f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+4=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
Đồng nhất hệ số, ta suy ra: $4=24a\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{6}$
Do đó: $f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f'\left( x \right)$ và $y=g'\left( x \right)$ là:
$S=\int_{-1}^{3}{\left| f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right|dx}=\int_{-1}^{3}{\left| \dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|dx}=\dfrac{71}{9}$.
Đáp án B.