Cho hai hàm số $f\left( x...

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua gốc tọa độ nên $e=0$.
Xét hàm số $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+(c-p)x^2+(d-q)x+3=a(x+2)(x+1)(x-1)(x-m)$.
Đồng nhất hệ số 2 đa thức ta được $3=2ma\left(1\right)$.
Theo đề bài, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc bằng $-{\displaystyle \frac{15}{2}}$ nên $h^{\prime }(-2)=-{\displaystyle \frac{15}{2}}$.
Do đó thay $x=-2$ vào $a(x+2)(x+1)(x-1)(x-m)=-{\displaystyle \frac{15}{2}}$, ta được: $2a(m+2)=5$.
Từ (1) và (2), suy ra $a={\displaystyle \frac{1}{2}};m=3$.
Vậy $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$.
Diện tích hình $\left(H\right)$ bằng $S_H=-\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}h\left(x\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}h\left(x\right)dx-3\underset{1}{\overset{3}{\int }}h\left(x\right)dx={\displaystyle \frac{133}{120}}+{\displaystyle \frac{58}{15}}+{\displaystyle \frac{122}{15}}={\displaystyle \frac{1553}{120}}$.
Lưu ý: Để giải quyết bài toán ta cần sử dụng một số đơn vị kiến thức sau:
Đa thức $P\left(x\right)$ bậc n có n nghiệm phân biệt thì $P\left(x\right)=a.(x-x_1)....(x-x_n)$.
Công thức tính diện tích hình phẳng: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|dx$.