Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ với $a\ne 0$ và $g\left( x \right)=p{{x}^{2}}+qx-3$ có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là $-2;-1;1;m$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc bằng $-\dfrac{15}{2}$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $\left( P \right):2x$ và $y=g\left( x \right)$ (phần được tô đậm như hình vẽ). Diện tích của hình $\left( H \right)$ bằng.
A. $\dfrac{1553}{120}.$
B. $\dfrac{1553}{240}.$
C. $\dfrac{1553}{60}.$
D. $\dfrac{1553}{30}.$
A. $\dfrac{1553}{120}.$
B. $\dfrac{1553}{240}.$
C. $\dfrac{1553}{60}.$
D. $\dfrac{1553}{30}.$
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua gốc tọa độ nên $e=0$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+\left( c-p \right){{x}^{2}}+\left( d-q \right)x+3=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)$.
Đồng nhất hệ số 2 đa thức ta được $3=2ma\ \ \ \left( 1 \right)$.
Theo đề bài, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc bằng $-\dfrac{15}{2}$ nên $h'\left( -2 \right)=-\dfrac{15}{2}$.
Do đó thay $x=-2$ vào $a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)=-\dfrac{15}{2}$, ta được: $2a\left( m+2 \right)=5$.
Từ (1) và (2), suy ra $a=\dfrac{1}{2};m=3$.
Vậy $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+3$.
Diện tích hình $\left( H \right)$ bằng ${{S}_{H}}=-\int\limits_{-2}^{-1}{h\left( x \right)dx}+\int\limits_{-1}^{1}{h\left( x \right)dx}-3\int\limits_{1}^{3}{h\left( x \right)dx}=\dfrac{133}{120}+\dfrac{58}{15}+\dfrac{122}{15}=\dfrac{1553}{120}$.
Lưu ý: Để giải quyết bài toán ta cần sử dụng một số đơn vị kiến thức sau:
Đa thức $P\left( x \right)$ bậc n có n nghiệm phân biệt thì $P\left( x \right)=a.\left( x-{{x}_{1}} \right)....\left( x-{{x}_{n}} \right)$.
Công thức tính diện tích hình phẳng: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+\left( c-p \right){{x}^{2}}+\left( d-q \right)x+3=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)$.
Đồng nhất hệ số 2 đa thức ta được $3=2ma\ \ \ \left( 1 \right)$.
Theo đề bài, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc bằng $-\dfrac{15}{2}$ nên $h'\left( -2 \right)=-\dfrac{15}{2}$.
Do đó thay $x=-2$ vào $a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-m \right)=-\dfrac{15}{2}$, ta được: $2a\left( m+2 \right)=5$.
Từ (1) và (2), suy ra $a=\dfrac{1}{2};m=3$.
Vậy $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+3$.
Diện tích hình $\left( H \right)$ bằng ${{S}_{H}}=-\int\limits_{-2}^{-1}{h\left( x \right)dx}+\int\limits_{-1}^{1}{h\left( x \right)dx}-3\int\limits_{1}^{3}{h\left( x \right)dx}=\dfrac{133}{120}+\dfrac{58}{15}+\dfrac{122}{15}=\dfrac{1553}{120}$.
Lưu ý: Để giải quyết bài toán ta cần sử dụng một số đơn vị kiến thức sau:
Đa thức $P\left( x \right)$ bậc n có n nghiệm phân biệt thì $P\left( x \right)=a.\left( x-{{x}_{1}} \right)....\left( x-{{x}_{n}} \right)$.
Công thức tính diện tích hình phẳng: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$.
Đáp án A.