Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+1$ với a, b, c, d, e, m, n, p, q là các số thực. Đồ thị của hai hàm số $y={f}'\left( x \right);y={g}'\left( x \right)$ như hình vẽ dưới. Tổng các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)+q=g\left( x \right)+e$ bằng
A. $\dfrac{13}{3}$.
B. $-\dfrac{13}{3}$.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. $-\dfrac{4}{3}$.
A. $\dfrac{13}{3}$.
B. $-\dfrac{13}{3}$.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. $-\dfrac{4}{3}$.
Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ${h}'\left( x \right)=k\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{5}{4} \right)\left( x-3 \right)$ (với $k\ne 0$ ) và $h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-g\left( 0 \right)=e-q$.
Do đó $h\left( x \right)=\left( h\left( x \right)-h\left( 0 \right) \right)+h\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{x}{{h}'\left( x \right)dx}-e+q=k\int\limits_{0}^{x}{\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{5}{4} \right)\left( x-3 \right)dx}+e-q$
$=\dfrac{k}{4}\int\limits_{0}^{x}{\left( x+1 \right)\left( 4x-5 \right)\left( x-3 \right)dx}+e-q=\dfrac{k}{4}\int\limits_{0}^{x}{\left( 4{{x}^{3}}-13{{x}^{2}}-2x+15 \right)dx}+e-q$
$=\dfrac{k}{4}\left( {{x}^{4}}-\dfrac{13}{2}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+15x \right)+e-q$.
Phương trình tương đương với: $h\left( x \right)=e-q\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{13}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+15x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{5}{3} \\
& x=0 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Tổng các nghiệm của phương trình bằng $-\dfrac{5}{3}+0+3=\dfrac{4}{3}$.
Do đó $h\left( x \right)=\left( h\left( x \right)-h\left( 0 \right) \right)+h\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{x}{{h}'\left( x \right)dx}-e+q=k\int\limits_{0}^{x}{\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{5}{4} \right)\left( x-3 \right)dx}+e-q$
$=\dfrac{k}{4}\int\limits_{0}^{x}{\left( x+1 \right)\left( 4x-5 \right)\left( x-3 \right)dx}+e-q=\dfrac{k}{4}\int\limits_{0}^{x}{\left( 4{{x}^{3}}-13{{x}^{2}}-2x+15 \right)dx}+e-q$
$=\dfrac{k}{4}\left( {{x}^{4}}-\dfrac{13}{2}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+15x \right)+e-q$.
Phương trình tương đương với: $h\left( x \right)=e-q\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{13}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+15x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{5}{3} \\
& x=0 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Tổng các nghiệm của phương trình bằng $-\dfrac{5}{3}+0+3=\dfrac{4}{3}$.
Đáp án C.