Cho hai hàm số $f\left( x...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hai hàm số

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

và

g (x) = m x^{3} + n x^{2} + p x + 1

với a, b, c, d, e, m, n, p, q là các số thực. Đồ thị của hai hàm số

y = f^{'} (x); y = g^{'} (x)

như hình vẽ dưới. Tổng các nghiệm của phương trình

f (x) + q = g (x) + e

bằng

A.

\frac{13}{3}

.
B.

- \frac{13}{3}

.
C.

\frac{4}{3}

.
D.

- \frac{4}{3}

.

Đặt

h (x) = f (x) - g (x)

có

h^{'} (x) = k (x + 1) (x - \frac{5}{4}) (x - 3)

(với

k \neq 0

) và

h (0) = f (0) - g (0) = e - q

.
Do đó

h (x) = (h (x) - h (0)) + h (0) = \int_{0}^{x} h^{'} (x) d x - e + q = k \int_{0}^{x} (x + 1) (x - \frac{5}{4}) (x - 3) d x + e - q

= \frac{k}{4} \int_{0}^{x} (x + 1) (4 x - 5) (x - 3) d x + e - q = \frac{k}{4} \int_{0}^{x} (4 x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 15) d x + e - q

= \frac{k}{4} (x^{4} - \frac{13}{2} x^{3} - x^{2} + 15 x) + e - q

.
Phương trình tương đương với:

h (x) = e - q \Leftrightarrow x^{4} - \frac{13}{3} x^{3} - x^{2} + 15 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - \frac{5}{3} \\ x = 0 \\ x = 3 \end{aligned}

.
Tổng các nghiệm của phương trình bằng

- \frac{5}{3} + 0 + 3 = \frac{4}{3}

.

Đáp án C.