Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số ${f\left( x \right)}$ và ${g\left( x \right)}$ liên tục trên ${\mathbb{R}}$ và hàm số ${{f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}$, ${{g}'\left( x \right)=q{{x}^{2}}+nx+p}$ với ${a,q\ne 0}$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ${y={f}'\left( x \right)}$ và ${y={g}'\left( x \right)}$ bằng ${10}$ và ${f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ${y=f\left( x \right)}$ và ${y=g\left( x \right)}$ bằng ${\dfrac{a}{b}}$ (với ${a,b\in \mathbb{N}}$ và ${a,b}$ nguyên tố cùng nhau). Tính ${a-b}$.
A. $18$.
B. $19$.
C. $20$.
D. $13$.
B. $19$.
C. $20$.
D. $13$.
Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ suy ra ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=ax\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$.
Mà $\int\limits_{0}^{2}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=10$ $\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left| ax\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|\text{d}x}=10$ $\Leftrightarrow \left| a \right|\int\limits_{0}^{2}{\left| x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|\text{d}x}=10$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| a \right|=10\Leftrightarrow \left| a \right|=20$.
Dựa vào đồ thị hàm $y={f}'\left( x \right)$ suy ra $a>0$. Do đó $\left| a \right|=20\Rightarrow a=20$.
Mặt khác, lại có ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=20x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)=20\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right)$ $\Rightarrow \int{\left( {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right)\text{d}x}=\int{\left( 20\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right) \right)\text{d}x}$
$\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}+C$
Với $x=2\Rightarrow f\left( 2 \right)-g\left( 2 \right)=C\Rightarrow C=0$.
Suy ra $f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}$ $\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là $S=\int\limits_{0}^{2}{\left( 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\dfrac{16}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=16 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ a-b=13$.
Mà $\int\limits_{0}^{2}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=10$ $\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left| ax\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|\text{d}x}=10$ $\Leftrightarrow \left| a \right|\int\limits_{0}^{2}{\left| x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|\text{d}x}=10$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| a \right|=10\Leftrightarrow \left| a \right|=20$.
Dựa vào đồ thị hàm $y={f}'\left( x \right)$ suy ra $a>0$. Do đó $\left| a \right|=20\Rightarrow a=20$.
Mặt khác, lại có ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=20x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)=20\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right)$ $\Rightarrow \int{\left( {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right)\text{d}x}=\int{\left( 20\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right) \right)\text{d}x}$
$\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}+C$
Với $x=2\Rightarrow f\left( 2 \right)-g\left( 2 \right)=C\Rightarrow C=0$.
Suy ra $f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}$ $\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là $S=\int\limits_{0}^{2}{\left( 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\dfrac{16}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=16 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ a-b=13$.
Đáp án D.