Google
Câu hỏi: . Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+5$ và $g\left( x \right)=d{{x}^{2}}+ex+3\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right).$ Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $-2,\ 1,\ 4$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. 162.
B. $\dfrac{81}{2}.$
C. $\dfrac{81}{4}.$
D. $\dfrac{81}{8}.$
A. 162.
B. $\dfrac{81}{2}.$
C. $\dfrac{81}{4}.$
D. $\dfrac{81}{8}.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là:
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+5=d{{x}^{2}}+ex+3\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x+2=0$
Vì phương trình có các nghiệm $-2$, 1, 4 nên: $a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x+2=a\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)$
Đồng nhất hệ số ta được: $2=a.2\left( -1 \right).\left( -4 \right)\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}$
Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm: $S=\dfrac{1}{4}\int\limits_{-2}^{4}{\left| \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right) \right|d\text{x}}=\dfrac{81}{8}$.
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+5=d{{x}^{2}}+ex+3\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x+2=0$
Vì phương trình có các nghiệm $-2$, 1, 4 nên: $a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x+2=a\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)$
Đồng nhất hệ số ta được: $2=a.2\left( -1 \right).\left( -4 \right)\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}$
Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm: $S=\dfrac{1}{4}\int\limits_{-2}^{4}{\left| \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right) \right|d\text{x}}=\dfrac{81}{8}$.
Đáp án D.