Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+bx+1$ và $g\left( x \right)=c{{x}^{2}}+4x+d$ có bảng biến thiên như sau
Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=9$. Khi đó điện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ ; $y=g\left( x \right)$ ; $x=1$ ; $x=2$ bằng
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Tại các điểm cực trị $\alpha $, $\beta $ của $f\left( x \right)$ thì $g\left( \alpha \right)=g\left( \beta \right)=0$, do đó
$g\left( x \right)=c\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)$ và ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+4x+b=3a\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)$.
Do đó $g\left( x \right)=k{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow c{{x}^{2}}+4x+d=k\left( 3a{{x}^{2}}+4x+b \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=3ka \\
& 4=4k \\
& d=kb \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k=1 \\
& c=3a \\
& d=b \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+bx+1$ và $g\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+4x+b$.
Phương trình hoành độ giao điểm $a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+bx+1=3a{{x}^{2}}+4x+b$
$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( 2-3a \right){{x}^{2}}+\left( b-4 \right)x+1-b=0$.
Theo Vi-et ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\dfrac{3a-2}{a}=9$ $\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x+b$ đạt giá trị lớn nhất tại
${{x}_{0}}=\dfrac{-4}{-2}=2$ và giá trị lớn nhất bằng $g\left( 2 \right)=1\Leftrightarrow b+4=1\Leftrightarrow b=-3$ $\Rightarrow c=-1\Rightarrow d=-3$.
Vậy $S=\int\limits_{1}^{2}{\left| -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x+4 \right|\text{d}x}=\dfrac{3}{4}$.
$g\left( x \right)=c\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)$ và ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+4x+b=3a\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)$.
Do đó $g\left( x \right)=k{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow c{{x}^{2}}+4x+d=k\left( 3a{{x}^{2}}+4x+b \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=3ka \\
& 4=4k \\
& d=kb \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k=1 \\
& c=3a \\
& d=b \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+bx+1$ và $g\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+4x+b$.
Phương trình hoành độ giao điểm $a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+bx+1=3a{{x}^{2}}+4x+b$
$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( 2-3a \right){{x}^{2}}+\left( b-4 \right)x+1-b=0$.
Theo Vi-et ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\dfrac{3a-2}{a}=9$ $\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x+b$ đạt giá trị lớn nhất tại
${{x}_{0}}=\dfrac{-4}{-2}=2$ và giá trị lớn nhất bằng $g\left( 2 \right)=1\Leftrightarrow b+4=1\Leftrightarrow b=-3$ $\Rightarrow c=-1\Rightarrow d=-3$.
Vậy $S=\int\limits_{1}^{2}{\left| -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x+4 \right|\text{d}x}=\dfrac{3}{4}$.
Đáp án A.