Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + b x + 1$ và...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hai hàm số

f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + b x + 1

và

g (x) = c x^{2} + 4 x + d

có bảng biến thiên như sau

Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại

3

điểm phân biệt có hoành độ

x_{1}

,

x_{2}

,

x_{3}

thỏa mãn

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 9

. Khi đó điện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f (x)

;

y = g (x)

;

x = 1

;

x = 2

bằng
A.

\frac{3}{4}

.
B.

\frac{3}{2}

.
C.

\frac{1}{4}

.
D.

\frac{1}{2}

.

Tại các điểm cực trị

α

,

β

của

f (x)

thì

g (α) = g (β) = 0

, do đó

g (x) = c (x - α) (x - β)

và

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 4 x + b = 3 a (x - α) (x - β)

.
Do đó

g (x) = k f^{'} (x) \Leftrightarrow c x^{2} + 4 x + d = k (3 a x^{2} + 4 x + b) \Leftrightarrow {\begin{aligned} c = 3 k a \\ 4 = 4 k \\ d = k b \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} k = 1 \\ c = 3 a \\ d = b \end{aligned}

.
Suy ra

f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + b x + 1

và

g (x) = 3 a x^{2} + 4 x + b

.
Phương trình hoành độ giao điểm

a x^{3} + 2 x^{2} + b x + 1 = 3 a x^{2} + 4 x + b

\Leftrightarrow a x^{3} + (2 - 3 a) x^{2} + (b - 4) x + 1 - b = 0

.
Theo Vi-et

x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{3 a - 2}{a} = 9

\Leftrightarrow a = - \frac{1}{3}

\Rightarrow g (x) = - x^{2} + 4 x + b

đạt giá trị lớn nhất tại

x_{0} = \frac{- 4}{- 2} = 2

và giá trị lớn nhất bằng

g (2) = 1 \Leftrightarrow b + 4 = 1 \Leftrightarrow b = - 3

\Rightarrow c = - 1 \Rightarrow d = - 3

.
Vậy

S = \int_{1}^{2} | - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} - 7 x + 4 | d x = \frac{3}{4}

.

Đáp án A.

Cho hai hàm số f(x)=ax3+2x2+bx+1 và...