Cho hai đường thẳng song song ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta...

Gọi n là số điểm thuộc đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$. Suy ra số điểm thuộc ${{\Delta }_{2}}$ là: 2018-n
+) Nếu n=1, thì số điểm thuộc ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ lần lượt là: 1; 2017. Suy ra số tam giác: $1.C_{2017}^{2}=2033136$
+) Nếu $n\ne 1$ thì tam giác có thể tạo ra thuộc một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Tam giác có 3 đỉnh được lấy từ 1 điểm thuộc ${{\Delta }_{1}}$ và 2 điểm thuộc ${{\Delta }_{2}}$
Trường hợp 2: Tam giác có 3 đỉnh được lấy từ 2 điểm thuộc ${{\Delta }_{1}}$ và 1 điểm thuộc ${{\Delta }_{2}}$
Suy ra số tam giác là:
$\sum{\Delta =n.C_{2018-n}^{2}+C_{n}^{2}.\left( 2018-n \right)=\dfrac{n\left( 2018-n \right)\left( 2017-n \right)}{2}}+\dfrac{\left( 2018-n \right).n\left( n-1 \right)}{2}$
$=1008.n\left( 2018-n \right)=1008.\left[ {{1009}^{2}}-{{\left( n-1009 \right)}^{2}} \right]\le {{1008.1009}^{2}}=1026225648$
Dấu "=" xảy ra khi $n=1009$, suy ra : ${{\left( \sum{\Delta } \right)}_{\max }}=1026225648$